Сферические функции

        специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения

        

        получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении (См. Лапласа уравнение) в сферических координатах r, θ, φ. Общий вид решения:

        

        где a_m — постоянные, l и порядка m, определяемые равенством:

        

        где Р_п — Лежандра многочлены.

         С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции

        

        образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций {e ^imφ} на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты φ, разлагаются по зональным С. ф.:

        

        С. ф. степени l

        

        при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:

         (1)

        (q^–1M — точка, в которую переходит точка М сферы при вращении q^–1). Коэффициенты l группы вращения сферы. Их называют также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении некоторых задач теории упругости и т. д.

         С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:

        

        где cos γ = cos θ cos θ‘ + sinθ sinθ' cos (φ —φ’), γ — сферическое расстояние точки (θ, φ) от точки (θ', φ’).

         Характерным примером многочисленных приложений С. ф. к вопросам математической физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд С. ф. r, θ, φ), внешней относительно данной сферы, равен

        

        а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен

        

        Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функцию (См. Шаровые функции) соответственно степени n - 1 и n.

         С. ф. были введены А. Лежандром и П. Лапласом в конце 18 в.

         Лит.: Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1—2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.