Многоугольные числа

Фигу́рные чи́сла — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам.

Различают следующие виды фигурных чисел:

• Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...)
• Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...)
• Телесные числа — числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (8,12,18,20,24,27,28,...) и т. д.
• Многоугольные числа.

Многоугольные числа

Выкладывая различные правильные многоугольники, мы получаем разные классы многоугольных чисел:

• Треугольные числа:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ..., $\frac{n(n+1)}{2}$, ... (последовательность A000217 в OEIS)

1	4	9

• Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n², ... (последовательность A000290 в OEIS)

• Пятиугольные числа:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ..., $\frac{n(3n-1)}{2}$, ... (последовательность A000326 в OEIS)

• k-угольные числа:

1, k, ..., $n + (k - 2)\frac{n(n-1)}{2}$, ...

Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб».

Исторический очерк

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

Большой интерес к фигурным числам проявляли индийские математики.

В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1670) так называемую «золотую теорему»:

• Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
• Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел;
• Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел:
• и т. д.

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.

Литература

• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей.. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 150—155.
• Серпинский В. Н. Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. — 111 с.
• Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, глава 3.

См. также

• Последовательность

Ссылки