Паракомпактность

Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

При этом: семейство $\mathcal U$ множеств, лежащих в топологическом пространстве X, называется локально конечным в X, если у каждой точки $x\in X$ существует окрестность в X, пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства $\mathcal U$; семейство $\mathcal U$ множеств вписано в семейство $\mathcal V$ множеств, если каждый элемент семейства $\mathcal U$ содержится в некотором элементе семейства $\mathcal V$.)

Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство. Паракомпактность является одним из исходных требований в теории многообразий.

Каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально. Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы, подчиненные произвольному заданному открытому покрытию.

Свойства

• В присутствии паракомпактности некоторые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности,
  • если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем;
  • если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно полно по Чеху.
• Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами, но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт.
• Произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть.
• В классе хаусдорфовых пространств
  • Прообраз паракомпакта при совершенном отображении является паракомпактом,
  • Образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом.
• К числу паракомпактов относятся, в частности, пространства Линделёфа. Для пространства всех непрерывных вещественных функций на произвольном тихоновском пространстве, наделенном топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линдолёфовости.
• Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нем компактом, то оно паракомпактно.
• Все метризуемые пространства паракомпакты (теорема Стоуна) .
  • Паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, то есть базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку $x\in X$, непременно образует базу в этой точке.
• Все компакты паракомпакты, но
  • Но не каждое локально компактное хаусдорфово пространство паракомпактно.

См. также

Ссылки