Плотность измеримого множества

Плотность (измеримого) множества E на вещественной прямой $\R$, в точке x ― предел (если он существует) отношения

$\lim_{|D|\to0}|E\cap D|/|D|$

где D ― произвольный отрезок, содержащий x, а | D | ― его мера Лебега. Если вместо меры рассматривать внешнюю меру, то получится определение внешней плотности E в точке x.

Аналогично вводится плотность в n-мерном пространстве. При этом длины отрезков заменяются объёмами соответствующих n-мерных параллелепипедов с гранями, параллельными координатным плоскостям, а предел рассматривается при стремлении к нулю диаметра параллелепипеда.

Для множеств из $\R$ оказывается полезным понятие правой (левой) плотности E в точке x, которое получается из общего определения, если в нём рассматривать лишь отрезки D, имеющие левым (правым) концом точку x.

Связанные определения

• Точка плотности — точка в которой плотность равна единице.
  • Почти все точки измеримого множества суть его точки плотности.
• Точка разрежения — точка в которой плотность равна нулю.

Литература

• Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974;