Ренормализация

Перенормиро́вка (или ренормализа́ция) — явление в квантовой теории поля, заключающееся в том, что величины, которые вначале вводятся как внешние параметры задачи, сами изменяются в результате уравнений движения.

Поясним ситуацию. Когда мы в классической механике при описании движения одного тела во внешних полях вводим в исходные уравнения массу тела m₀, то мы можем быть уверены, что во всех динамических процессах реальная, наблюдаемая масса тела будет равняться этой величине m₀.

В квантовой теории поля дело обстоит иначе. Из-за того, что любая частица существует за счёт какого-либо взаимодействия (иначе бы она просто никак не проявлялась в нашем мире!), она непрерывно испускает и поглощает виртуальные частицы, в частности кванты-переносчики этого взаимодействия. Другими словами, исходная частица находится не в покое, не в абсолютном вакууме, а в постоянном взаимодействии с нулевыми колебаниями других полей. Такое явление можно назвать и самодействием частицы, т. е. взаимодействием с полем, порождённым ею же самой. Это самодействие и приводит к изменению динамических характеристик частицы, в частности, её массы.

Описанное выше конкретное явление — это перенормировка в вакууме. Если же частица находится во внешних полях, то и величина изменения динамических параметров (в данном случае, массы), тоже меняется. Такое изменение носит название перенормировки во внешних полях.

Основная проблема перенормировок

После построения в конце 1920-х годов релятивистской квантовой механики и первых удачных вычислений некоторых реакций в рамках этой теории, были предприняты попытки провести расчёты и перенормировки таких параметров, как масса и заряд электрона. Однако они сразу же наткнулись на серьёзную трудность: согласно формулам квантовой теории поля и заряд, и масса электрона изменяется под действием на бесконечную величину. Эта проблема стояла перед физиками около 20 лет, и только к концу 1940-х годов усилиями Фейнмана, Швингера и Томонаги удалось понять, что же было неправильным в подходе к перенормировкам. Они построили первую теорию, свободную от бесконечностей, квантовую электродинамику (КЭД), и расчёты в рамках этой теории были в дальнейшем подтверждены экспериментально.

Суть этого подхода состоит в следующем. Квантовая механика нас учит, что не все величины, для которых можно написать формулы, являются наблюдаемыми. Какие-либо требования можно налагать лишь на наблюдаемые величины, а ненаблюдаемые могут быть произвольными.

В применении к нашей ситуации, если уж мы допускаем, что, к примеру, реальная наблюдаемая масса частицы изменится по сравнению с тем параметром m₀, который мы вводим в уравнения, то мы вовсе не обязаны считать эту величину m₀ равной реальной массе частицы. Мы вообще не знаем и не должны знать, чему равно m₀, раз она нигде сама по себе среди наблюдаемых не встречается! Главное — это чтобы результирующая, физическая масса частицы, получающаяся после перенормировки, была конечной и равнялась своему наблюдаемому значению. Тогда действительно, оказывается, что эту затравочную массу m₀ можно так устремить к бесконечности, что результирующая масса после перенормировок становится конечной.

Аналогичная процедура проводится и с зарядом электрона, а также с нормировкой его волновой функции. В результате выясняется, что таким приёмом мы устранили не только бесконечности в массе, заряде и волновой функции, но и вообще все ультрафиолетовые расходимости, которые могли бы возникнуть в теории. Этот факт вовсе не тривиален и означает, что квантовая электродинамика — перенормируемая теория.

Разумеется, в реальных вычислениях бесконечности не фигурируют. Для этого в процессе перенормировки вводится процедура регуляризации, которая делает все промежуточные вычисления конечными. После получения окончательного ответа регуляризационный параметр устремляют к нулю, и ответ при этом стремится к конечному значению.

Бегущие константы

Казалось бы, перенормировка массы или заряда электрона не приводит ни к каким видимым изменениям: в конце концов, всё, что мы делаем — это наблюдаем за игрой формул и получившийся результат называем физической массой электрона. Однако не всё так просто. Величина перенормировки зависит от конкретных условий, в которых находится электрон. Так, электрон в атоме (то есть электрон, наблюдаемый с большого расстояния по сравнению с комптоновской длиной волны — характерным расстоянием квантовополевых эффектов) и электрон, участвующий в столкновениях со сверхвысокой энергией, находятся в разных условиях. Это значит, что значения перенормированных массы и заряда электрона в этих условиях будут отличаться. Такая зависимость называется эволюцией констант с изменением масштаба взаимодействия. Сами же масса и заряд (а точнее, пропорциональная квадрату заряда постоянная тонкой структуры), зависящие от энергетического масштаба взаимодействия, называются бегущей массой и бегущей константой взаимодействия.

Очевидно, что значения массы и заряда могут также меняться и во внешних электромагнитных полях. При этом перенормированные значения заряда и массы сдвигаются по сравнению с их перенормированными значениями в вакууме на конечную величину, пропорциональную в КЭД квадрату напряжённости поля. Проще всего эволюцию бегущих констант проследить с помощью методов ренормгруппы.

Все описанные выше наблюдаемые явления были с высокой точностью подтверждены экспериментально, как в случае чистой КЭД, так и в случае других теорий — квантовой хромодинамики и теории электрослабого взаимодействия.

Процедура перенормировки: технические подробности

При конкретных вычислениях, перенормировку выполняют следующим образом. Выбирают какой-либо из вариантов регуляризации. К затравочному лагранжиану, состоящему обычно из небольшого числа слагаемых с вполне конкретным набором полевых функций, дописываются несколько контрчленов. Контрчлены имеют такой же вид, как и слагаемые исходного лагранжиана, только впереди них стоят некоторые константы. Затем, на основании этого лагранжиана, вычисляются петлевые интегралы. При произвольной величине контрчленов, получающиеся физические величины будут стремиться к бесконечности при снятии регуляризации. Однако можно подобрать константы перед контрчленами таким образом, чтобы основные параметры теории оставались конечными и при снятии регуляризации. Это требование позволяет зафиксировать окончательный вид контрчленов. Подчеркнём, что этот вид явно зависит от схемы регуляризации и вычитания.

На основании полученного лагранжиана вычисляются искомые величины, а затем в полученных выражениях снимается регуляризация. Если теория перенормируема, то достаточно небольшого числа контрчленов для того, чтобы все возможные наблюдаемые стали конечными.

Перенормировки вне физики элементарных частиц

Как это нередко бывает, концепция перенормировок, придуманная в физике элементарных частиц, оказалась необычайно плодотворной в других областях физики, в особенности в физике конденсированных сред, где перенормировки имеют особенно наглядную интерпретацию. Более конкретно, перенормировки применяются при описании фазовых переходов, эффекта Кондо и т. д. В случае фазового перехода ферромагнетик-парамагнетик ренормгруппа естественным образом получается из построения Каданова и термодинамической гипотезы подобия.

См. также

• Теорема Боголюбова — Парасюка
• R-операция Боголюбова — Парасюка

Литература

• Ричард Фейнман, «КЭД — странная теория света и вещества». М., Наука, 1988 г., 144 с.
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. 4-ое изд. М.: Наука, 1984. 600 с.