Репьюнит

Репью́ниты (англ. repunit, от repeated unit — повторённая единица) — натуральные числа R(b,n), запись которых в системе счисления с основанием b > 1 состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются R_n: R₁ = 1, R₂ = 11, R₃ = 111 и т. д., и общий вид для них:

$R_n = \frac{10^n-1}{9},\quad n = 1, 2, 3,\ldots$

Известно только 8 простых репьюнитов R_n: R₂, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁, R₄₉₀₈₁, R₈₆₄₅₃ и R₁₀₉₂₉₇ (последовательность A004023 в OEIS), причём, что очевидно — индексы этих репьюнитов также простые числа.

В результате умножения $R_i \cdot R_j$ при $9 \ge i \ge j$ получается палиндромическое число вида $(12 \ldots j \ldots 21)$ из i + j − 1 цифр с цифрой j посередине. Если же $i \ge j > 9$, $R_i \cdot R_j$ — не палиндром.

Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.

Литература

• Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
• Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
• Кордемский Б. На часок к семейке репьюнитов, Квант N5, 1997, с. 28—29.