Квадрат (алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Квадрат (значения).

y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Квадра́том числа называется результат умножения числа на себя (возведения числа в степень 2).

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849...

Способы представления

Квадрат натурального числа $n$ можно представить в виде суммы первых $n$ нечетных чисел:

1: $1 = 1$

2: $4 = 1 + 3$

...

7: $49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$

...

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
$n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + (n - 1) + (n - 1) + n$
Пример:

1: $1 = 1$

2: $4 = 1 + 1 + 2$

...

4: $16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4$

...

Сумма квадратов первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле:
$\sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}$

Вывод  

Способ 1, метод приведения:

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до $n+1$:

$\sum_{k=1}^n k^3 + (n+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k+1)^3 = \sum_{k=0}^n (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = \sum_{k=0}^n k^3 + \sum_{k=0}^n 3k^2 + \sum_{k=0}^n 3k + \sum_{k=0}^n 1 = \sum_{k=0}^n k^3 +3\sum_{k=0}^n k^2 +3\sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1$

Получим:

$(n+1)^3 = 3\sum_{k=0}^n k^2 +3\sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 = 3\sum_{k=0}^n k^2 + 3\frac{(n+1)n} {2} + (n + 1)$

Умножим на 2 и перегруппируем:

$6\sum_{k=0}^n k^2 = 2(n + 1)^3 - 3(n + 1)n - 2(n + 1) = (n + 1)(2(n + 1)^2 - 3n - 2) = (n + 1)(2n^2 + n) = n(n + 1)(2n + 1)$

$\sum_{k=0}^n k^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}$       (В рассуждениях использована формула: $\sum_{k=0}^n k = \frac{(n + 1)n} {2}$, вывод которой аналогичен приведенному)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени $N$ может быть выражена как функция $N+1$ степени. Исходя из этого факта предположим:

$\sum_{k=0}^n k^2 = f(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D$

$f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; f(2) = 5 ; f(3) = 14$

Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:

$\begin{cases} 0A + 0B + 0C + D = 0 \\ A + B + C + D= 1 \\ 8A + 4B + 2C + D = 5\\ 27A + 9B + 3C + D = 14 \\ \end{cases}$

Решив её, получим $A = \frac{1} {3}, B = \frac{1} {2}, C = \frac{1} {6}, D = 0$

Таким образом:

$\sum_{k=0}^n k^2 = f(n) = \frac{1} {3}n^3 + \frac{1} {2}n^2 + \frac{1} {6}n + 0 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}$

Примечание: более подробную информацию можно прочитать в этой книге в параграфе 2.5.

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

$\left(a+bi\right)^2 = \left(a^2 - b^2\right) + 2abi.$

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

$r\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)^2 = r^2\left(\cos{2\phi}+i\sin{2\phi}\right).$

Геометрический смысл

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

Литература

Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

См. также

• Извлечение квадратного корня — обратная операция по отношению к возведению в квадрат.
• Куб числа
• Обобщение на более высокие степени на Вольфраме.