Ретракция Шарафутдинова

Ретракция Шарафутдинова — конструкция, позволяющая построить ретракцию риманова многообразия по выпуклой функции на нём.

Впервые использована Шарафутдиновым^[1] в доказательстве того, что любые две души в многообразии с неотрицательной секционной кривизной изометричны.

Конструкция

Пусть $M$ есть связное риманово многообразие и $f:M\to \R$ выпуклая функция и $s=\max\{\,f(x)\mid x\in M\,\}$ Для $t\le s$ обозначим через $M_t$ множество $\{\,x\in M\mid f(x)\le t\}$. Ретракция Шарафутдинова это семейство отображений $\Phi_t:M\to M_t$, которое является тождественным на $M_t$ такое, что если $f(x)<t$ то $\Phi_t(x)$ лежит на градиентной кривой из $x$ функции $f$ и при этом $f(\Phi_t(x))=t$.

Свойства

• Отображения $\Phi_t:M\to M_t$ являются короткими.
• Если $t\ge \tau$ то $\Phi_t\circ\Phi_\tau=\Phi_t$.

Литература

1. ↑ В. А. Шарафутдинов О выпуклых множествах в многообразии неотрицательной кривизны // Матем. заметки. — 1979. — Т. 26. — № 1. — С. 129—136.