- Ряды подгрупп
-
В математике ряд подгрупп — это цепь подгрупп вида . Ряды подгрупп могут упростить изучение группы сводя его к изучению подгрупп этой группы и к изучению взаимосвязей между ними. Ряды подгрупп могут формировать важные инварианты заданной группы .
Содержание
Определение
Нормальный ряд, субнормальный ряд
Субнормальный ряд (называемый также нормальным рядом, нормальной башней, субинвариантным рядом, или просто рядом) группы — это последовательность подгрупп
каждая из которых есть нормальная подгруппа в подгруппе, следующей непосредственно за ней, то есть .
Длина ряда
Ряд с дополнительным свойством для всех называется рядом без повторов; эквивалентная формулировка — это то, что есть собственная подгруппа в . Длина ряда — это число собственных включений . Если ряд не имеет повторов, то его длина равна .
Для субнормального ряда, его длина — это число нетривиальных факторгрупп . Каждая нетривиальная группа имеет субнормальный ряд длины 1, а именно ряд . Каждая собственная нормальная подгруппа определяет субнормальный ряд длины 2. Для простых групп тривиальный ряд длины 1 является единственным возможным субнормальным рядом.
Восходящие и нисходящие ряды
Ряды подгрупп могут быть записаны в восходящем порядке
либо в нисходящем порядке
Для конечного ряда нет разницы в какой форме он записан — как восходящий или как нисходящий ряд. Для бесконечного ряда уже есть различие: восходящий ряд имеет наименьший элемент, непосредственно следующий за ним элемент, затем следующий, и так далее, но может не иметь максимального элемента, отличного от . Нисходящий ряд , наоборот, имеет наибольший элемент, но может не иметь наименьшего элемента, отличного от .
Бесконечные и трансфинитные ряды
Бесконечны ряды подгрупп также могут определяться и возникать естественным образом. В этом случае надо использовать бесконечное линейно упорядоченное индексное множество, и имеется разница между восходящими и нисходящими рядами. Восходящий ряд , пронумерованный натуральными числами, можно назвать бесконечным восходящим рядом. Если подгруппы ряда пронумерованы порядковыми числами, то получается трансфинитный ряд[1]. Примером может служить следующий восходящий трансфинитный ряд:
Если задана рекурсивная формула для элементов ряда, то можно определять трансфинитный ряд при помощи трансфинитной рекурсии. При этом на предельных порядковых числах элементы восходящего трансфинитного ряда задаются формулой
а элементы нисходящего трансфинитного ряда — формулой
Другие линейно упорядоченные множества редко возникают в качестве индексирующих множеств в рядах подгрупп. Например, можно рассмотреть двусторонне-бесконечный ряд подгрупп, индексированный целыми числами:
Сравнение рядов
Уплотнение ряда подгрупп — это другой ряд подгрупп, содержащий каждый элемент первоначального ряда. Понятие уплотнения задаёт частичный порядок на множестве рядов подгрупп заданной группы, ряды подгрупп образуют решётку по отношению к такому упорядочению, а субнормальные и нормальные ряды образуют подрешётки этой решётки. Особый интерес представляют в определённом смысле максимальные ряды без повторов.
Два субнормальных ряда называются эквивалентными или изоморфными, если есть биективное отображение, связывающее множества их факторгрупп, такое, что соответствующие факторгруппы изоморфны.
Максимальные ряды
Композиционный ряд — это максимальный субнормальный ряд.
- В классе конечных субнормальных рядов максимальность означает, что каждая факторгруппа простая, то есть конечный композиционный ряд — это конечный субнормальный ряд с простыми факторгруппами .
- В классе восходящих трансфинитных субнормальных рядов максимальность связана с понятием трансфинитной сверхпростоты[1][неавторитетный источник?] (hypertranssimplicity).
Группа называется трансфинитно сверхпростой
, если она не имеет восходящих субнормальных рядов без повторов (конечных либо трансфинитных), отличных от тривиального ряда .Восходящий трансфинитный субнормальный ряд является композиционным рядом, если все его факторгруппы трансфинитно сверхпросты.
Открытые проблемы
- Всякая трансфинитно сверхпростая группа является простой. То есть класс трансфинитно сверхпростых групп составляет подкласс в классе простых групп. Остается открытым вопрос о совпадении или несовпадении этих классов. Требуется построить пример простой группы, которая не является трансфинитно сверхпростой, либо доказать, что таких групп не существует.
Список литературы
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.