- Теорема Крейна — Мильмана
-
Теорема Крейна — Мильмана
Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.
пусть L — локально-выпуклое пространство, K — выпуклый компакт в L, E — совокупность крайних точек K. Тогда K совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества E.
Доказана советскими математиками Марком Григорьевичем Крейном и Давидом Пинхусовичем Мильманом.
Доказательство
Пусть H — выпуклая оболочка крайних точек K. Так как K компактно и выпукло, то замыкание Поэтому компактно. Предположим, что некоторая точка и . Применяя теорему Хана — Банаха к x0 и , показать, что ( — теорема Хана — Банаха). Таким образом мы получаем противоречие построению .
Теорема доказана.
Одно из приложений этой теоремы — доказательство неизоморфности различных банаховых пространств; другое — изящное доказательство де Бранжа теоремы Стоуна — Вейерштрасса.
Литература
- Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа, 1988.
Wikimedia Foundation. 2010.
Теорема Крейна — Мильмана важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема … Википедия
Функциональный анализ (математ.) — Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов… … Большая советская энциклопедия
Функциональный анализ — I Функциональный анализ часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… … Большая советская энциклопедия
Крейн, Марк Григорьевич — Марк Григорьевич Крейн математик … Википедия
Крейн, Марк — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… … Википедия
Крейн М. Г. — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… … Википедия
Крейн М. — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… … Википедия
Крейн Марк Григорьевич — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… … Википедия
Марк Григорьевич Крейн — (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам алгебры, анализа, теории … Википедия
Марк Крейн — Марк Григорьевич Крейн (3 апреля 1907, Киев 17 октября 1989 года) выдающийся советский математик, еврей по национальности, автор более 250 работ (в том числе 7 монографий, многие из которых переведены на иностранные языки) по различным разделам… … Википедия