Lp (пространство)

Lp (пространство)

L^p (также встречается обозначение L_p; читается «эль-пэ»; также Лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их p-я степень интегрируема, где p \geqslant 1.

L^p — важнейший класс банаховых пространств. L_2 (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Содержание

Построение пространства Lp

Определение 1. Пусть дано пространство с мерой (X,\;\mathcal{F},\;\mu). Фиксируем 1 \leqslant p < \infty и рассмотрим множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что

\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) < \infty.

Обозначим это множество \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) или просто \mathcal{L}^p.

Теорема 1. Пространство \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) линейно. Доказательство следует из элементарных свойств интеграла Лебега, а также неравенства Минковского.

На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:

\|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right) ^{\frac{1}{p}}.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.

Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если f(x) = 0 почти всюду, то \|f\|_p = 0, что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.

Определение 2. Введём на \mathcal{L}^p отношение эквивалентности. Будем говорить, что f \sim g, если f(x) = g(x) почти всюду.

Это отношение разбивает пространство \mathcal{L}^p на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают.

Тогда на построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) \mathcal{L}^p/\sim можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Определение 3. Факторпространство \left(\mathcal{L}^p/\!\sim,\; \|\cdot\|_p\right) с построенной на нём нормой называется пространством L^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) или просто L^p.

Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами L^p называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».

(!) Комментарий: при 0<p<1, L_p не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника[1], однако образуют метрическое пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота пространства Lp

Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику

d(f,\;g) = \|f-g\|_p,

а следовательно и понятие сходимости.

Определение 3. Пусть есть последовательность функций \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p. Тогда эта последовательность сходится к функции f\in L^p, если

\|f_n-f\|_p \to 0 при n \to \infty.

Теорема 2. Пространство L^p полно, то есть любая фундаментальная последовательность в L^p сходится к элементу этого же пространства. Таким образом L^p — банахово пространство.

Пространство L²

В случае p=2 введённая выше норма порождается скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция и пр.

Определение 4. Введём на пространстве L^2 скалярное произведение следующим образом:

\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,\overline{g(x)}\, \mu(dx),

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или

\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,{g(x)}\, \mu(dx),

если они вещественные. Тогда, очевидно,

\|f\|_2 = \sqrt{\langle f,\; f \rangle},

то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого L^p, заключаем, что имеет место

Теорема 3. Пространство L^2 гильбертово.

Пространство L

Рассмотрим пространство \mathcal{L}^{\infty}(X,\;\mathcal{F},\;\mu) измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению

\|f\|_{\infty} = \mathrm{ess} \sup\limits_{x\in X} |f(x)|,

получим полное нормированное, то есть банахово пространство.

Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

f_n \to f в L^{\infty}, если \mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0 при n \to \infty.

Свойства пространств Lp

  • Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве L^p. Пусть f_n(x)=n^{1/p} при x\in(0,1/n] и f_n(x)=0 при x\in(1/n,1], f_n\in L^p. Тогда f_n \to 0 почти всюду. Но \|f_n\|_p^p=\int_0^1 |f_n|^p d\mu=1. Обратное также неверно.
  • Если \|f_n-f\|_p \to 0 при n\to \infty, то существует подпоследовательность f_{n_k}, такая что f_{n_k} \to f почти всюду.
  • L^p функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) — подмножество L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m), состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда L^p_{C^{\infty}} всюду плотно в L^p.
  • L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) — сепарабельно при p<\infty.
  • Если \mu — конечная мера, например, вероятность, и 1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty, то L^q \subset L^p. В частности, L^2 \subset L^1, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Пространства сопряжённые к Lp

Пространством \left(L^p\right)^{\star} называется пространство линейных функционалов на L^p. Это пространство сопряжённое к L^p (копространство).

Теорема 4. Если 1 < p < \infty, то \left(L^p\right)^{\star} изоморфно L^q (пишем \left(L^p\right)^{\star} \cong L^q), где 1/p+1/q=1. Любой линейный функционал на L^p имеет вид:

g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx),

где \tilde{g}(x)\in L^q.

В силу симметрии уравнения 1/p+1/q=1, само пространство L^p дуально (с точностью до изоморфизма) к L^q, а следовательно:

\left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p.

Этот результат справедлив и для случая p=1, то есть \left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty}. Однако, \left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1 и, в частности, \left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1.

Пространства lp, 1 ≤ p ≤ ∞

Пусть (X,\;\mathcal{F},\;\mu) = \left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right), где m — счётная мера на \mathbb{N}, то есть m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N}. Тогда если p<\infty, то пространство \ell^p\left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right) представляет собой семейство последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p < \infty.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

\|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}.

Получившееся нормированное пространство обозначается \ell^p.

Если p=\infty, то мы рассматриваем пространство ограниченных последовательностей с нормой

\|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n|.

Получившееся пространство называется \ell^\infty. Оно является примером не сепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив p=2, мы получаем гильбертово пространство \ell^2, чья норма порождена скалярным произведением

\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n  \overline{y_n},

если последовательности комплекснозначные, и

\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n},

если они вещественны.

Пространство, дуальное к \ell^p, где 1 < p < \infty изоморфно \ell^q, 1/p+1/q=1. Для p=1: \left(\ell^1\right)^{\star} = \ell^{\infty}. Однако, \left(\ell^{\infty}\right)^{\star} \not\cong \ell^1.

Примечания

  1. Точнее, выполняется обратное неравенство треугольника: при 0<p<1 \forall f,g\in L_p(\Omega)\colon\,\left(\int\limits_\Omega|f(x)+g(x)|^p dx\right)^\frac{1}{p}\geqslant \left(\int\limits_\Omega |f(x)|^p dx\right)^\frac{1}{p}+\left(\int\limits_\Omega |g(x)|^p dx\right)^\frac{1}{p}

Литература



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Lp (пространство)" в других словарях:

  • ПРОСТРАНСТВО — фундаментальное (наряду с временем) понятие человеческого мышления, отображающее множественный характер существования мира, его неоднородность. Множество предметов, объектов, данных в человеческом восприятии одновременно, формирует сложный… …   Философская энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ — категории, обозначающие осн. формы существования материи. Пр во (П.) выражает порядок сосуществования отд. объектов, время (В.) порядок смены явлений. П. и в. осн. понятия всех разделов физики. Они играют гл. роль на эмпирич. уровне физ. познания …   Физическая энциклопедия

  • Пространство Lp — Для термина «Lp» см. другие значения. Пространства Lp (читается «эль пэ»)  это пространства измеримых функций таких, что их p я степень интегрируема, где . Lp  важнейший класс банаховых пространств. В дополнение, L2 (читается «эль… …   Википедия

  • ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ —         всеобщие формы бытия материи, её важнейшие атрибуты. В мире нет материи, не обладающей пространственно временными свойствами, как не существует П. и в. самих по себе, вне материи или независимо от неё. Пространство есть форма бытия… …   Философская энциклопедия

  • ПРОСТРАНСТВО — П., будучи одним из важнейших элементов мифопоэтической архаичной модели мира, осмысливалось в рамках этой модели совершенно отлично от того, как оно представляется современному человечеству под воздействием научных взглядов (особенно после… …   Энциклопедия мифологии

  • Пространство Соболева — (в математике)  функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега ( ), имеющих обобщенные производные заданного порядка из . При пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева …   Википедия

  • Пространство имен (программирование) — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… …   Википедия

  • Пространство имен в программировании — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… …   Википедия

  • Пространство имён в программировании — Пространство имён (от англ. namespace) некоторое множество, под которым подразумевается модель, абстрактное хранилище или окружение, созданное для логической группировки уникальных идентификаторов (т.е. имён). Идентификатор, определенный в… …   Википедия

  • Пространство —  Пространство  ♦ Espace    То, что остается, если убрать все; пустота, но пустота в трех измерениях. Ясно, что понятие пространства – абстракция (если мы действительно уберем все, то не останется вообще ничего, и это будет уже не пространство, а… …   Философский словарь Спонвиля

  • ПРОСТРАНСТВО В ИНДИЙСКОЙ ФИЛОСОФИИ —     ПРОСТРАНСТВО В ИНДИЙСКОЙ ФИЛОСОФИИ.     Индийская мысль не выработала единого понятия пространства, аналогичного соответствующей категории европейской философии. Философская концепция пространства в Индии (как и в Европе) создавалась через… …   Философская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»