- Предгильбертово пространство
-
Предги́льбертово простра́нство в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства.
Содержание
Определение
Пара называется предгильбертовым пространством, если — линейное пространство, а — определённое на скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, т.е. положительно определённое).
Замечание
Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму
В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.
Свойства
- Теорема фон Неймана — Йордмана. Если в полунормированном пространстве справедлив закон параллелограмма, то — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение такое, что .
Пример
В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций интегрируемых с квадратом
если скалярное произведение определить как
Введенное таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L2).
См. также
Ссылки
Категория:- Функциональный анализ
Wikimedia Foundation. 2010.