Обращение интеграла Лапласа

Пусть функция $F$ комплексного переменного $p=x+iy$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $F$ — аналитическая в области $\mathop{\mathrm{Re}}\,p>a$
2. в области $\mathop{\mathrm{Re}}\,p> a$ $F\to 0$ при $|p|\to +\infty$ равномерно относительно $\arg p$
3. для всех $\mathop{\mathrm{Re}}\,p>a$ сходится интеграл $\int\limits_{x - i\infty}^{x + i\infty}\! |F(p)|\, dy$

Тогда функция $F$ при $\mathop{\mathrm{Re}}\,p>a$ является изображением функции $f$ действительной переменной $t$, которую можно найти по формуле

$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{x - i\infty}^{x + i\infty}\limits\! e^{pt} F(p)\,dp,\quad x > a$

Эта формула называется формулой Меллина, а интеграл — интегралом Меллина (названы в честь финского математика Ялмара Меллина). Во многих случаях интеграл Меллина может быть вычислен с помощью вычетов. А именно, если функция $F$, заданная в области $\mathop{\mathrm{Re}}\,p>a$, может быть аналитически продолжена на всю плоскость комплексного переменного с конечным числом особых точек $p_1,p_2,\dots,p_n$ и её аналитическое продолжение удовлетворяет при $\mathop{\mathrm{Re}}\,p<a$ условиям леммы Жордана, то

$f(t)=\sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{res}}_{p=p_k}(e^{pt}F(p))$

См. также

• Первая теорема разложения
• Вторая теорема разложения

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.