- Простой идеал
-
В коммутативном кольце идеал называется простым, если факторкольцо по нему является областью целостности. Равносильная формулировка: если и из следует или .
Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.
Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца по простому идеалу .
Множество всех простых идеалов кольца образует спектр кольца . В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.
Свойства
- Максимальный идеал кольца (т.е. собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.
ДоказательствоДействительно, пусть , . Рассмотрим идеал . Поскольку максимален, то либо (что невозможно, поскольку ), либо . Но тогда и значит .
- Идеал прост, если элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
- Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце с единицей задан идеал , не пересекающийся с мультипликативной системой . Тогда существует простой идеал , содержащий и не пересекающийся с системой .
ДоказательствоДоказательство использует один из вариантов трансфинитной индукции — лемму Цорна. Множество всех идеалов кольца , содержащих и не пересекающихся с системой , непусто (оно включает идеал ), и отношение теоретико-множественного включения задаёт на нём индуктивный порядок. По лемме Цорна это множество содержит максимальный элемент — максимальный идеал .
- Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал , совпадает с радикалом идеала . Радикал идеала — это множество . Оно тоже является идеалом кольца .
ДоказательствоПусть — простой идеал, содержащий . Если элемент принадлежит радикалу , значит некоторая его степень принадлежит идеалу , значит не может принадлежать дополнению к , так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит , то содержит и все его степени). Значит необходимо принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал .
Обратно: пусть не принадлежит радикалу . Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с . По предыдущей теореме существует простой идеал, содержащий и не содержащий ни одну из степеней элемента . Значит не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал .Примеры
- В кольце целых чисел каждый простой идеал имеет вид , где — простое число.
ДоказательствоПусть — наименьшее положительное число в . Возьмем произвольное и поделим с остатком на : , где . В силу выбора , имеем , т.е все элементы делятся на . .
Положим, теперь, . Поскольку из должно следовать или , то — простое число.
- В кольце многочленов от одной переменной каждый простой идеал имеет вид , где — неприводимый над многочлен.
- В кольце многочленов множество является простым идеалом.
ДоказательствоЛюбой элемент можно представить в виде , где — некоторые многочлены, определено однозначно элементом . Условие равносильно тогда условию , откуда следует либо , либо .
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
Категория:- Теория колец
Wikimedia Foundation. 2010.