- Формула Лиувилля-Остроградского
-
Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.
Пусть есть дифференциальное уравнение вида
y(n) + P1(x)y(n − 1) + P2(x)y(n − 2) + ... + Pn(x)y = 0,
тогда где W(x) — определитель Вронского
Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений
y'(x) = A(x)y(x), где A(x) — непрерывная квадратная матрица порядка n, справедлива формула Лиувилля-Остроградского
где — след матрицы A(x)
Правило дифференцирования определителя размерности 2
Производная определителя по переменной х имеет вид
Правило дифференцирования определителя размерности n
Пусть
Тогда для производной Δ'(x) верно
(в i-м слагаемом продифференцирована i-я строка)
ДоказательствоВоспользуемся формулой полного разложения определителя
Сумма взята по всевозможным перестановкам чисел , - четность перестановки.
Дифференцируя это выражение по x, получим
В каждой сумме продифференцированы элементы i-й строки и только они. Заменив суммы определителями, получим
Доказательство для уравнения второго порядка
Пусть в уравнении y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 функции p(x),q(x) непрерывны на [a;b], а
y1 = y1(x),y2 = y2(x) — решения данного уравнения.
Продифференцировав определитель Вронского получим
Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив
y1'' = − py1' − qy1
y2'' = − py2' − qy2
во второе слагаемое и домножив первую строку на q получим
Сложив строки, получим
решения линейно независимы, поэтому
— дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Интегрируя, получим
Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Пусть вектор-функции — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу Φ следующим образом
Тогда . Воспользуемся тем, что yi(x) - решения системы ОДУ, то есть .
В матричном виде последнее представимо в виде
или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента
Пусть - i-я строка матрицы . Тогда
Последнее означает, что производная от i-й строки матрицы есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из i-й строки матрицы . Рассмотрим определитель матрицы , в которой i-я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из i-й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.
Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем
Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение
Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка
Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
эквивалентно следующей системе
с матрицей следующего вида
Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы равен . Подстановкой в формулу для системы получаем
Применение формулы Лиувилля-Остроградского
Пусть известно решение y1(x) линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Используя формулу Лиувилля-Остроградского возможно найти линейно независимое от него решение y2(x) той же системы.
Распишем вронскиан:
поэтому
Так как для линейной независимости y1(x) и y2(x) достаточно , приняв получим
Пример
Пусть в уравнении известно частное решение . Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим
Тогда общее решение однородного уравнения
Используемая литература
- Агафонов С. А.,Герман А. Д.,Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов -М. Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999.-336с (Серия Математика в техническом университете ;Вып. VIII),Глава 5 параграф 2 .
- Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - 2-е изд. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с.
Категории:- Объекты, названные в честь людей
- Дифференциальные уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.