Квадратное пирамидальное число

Геометическое представление квадратного пирамидального числа: 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

В математике пирамида́льное число́ или квадра́тное пирамида́льное число́ — фигурное число, представляющее собой количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов в сетке N × N.

Квадратные пирамидальные числа образуют последовательность:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, … (последовательность A000330 в OEIS)

Формула

Квадратные пирамидальные числа могут быть вычислены по формуле:

$P_n = \sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}.$

Это частный случай формулы Фаулхабера (англ.)русск., который может быть доказан методом прямой математической индукции. Эквивалентная формула приводится в «Книге абака» (лат. Liber abaci) Фибоначчи.

В современной математике, формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрхарта (англ.)русск.. Многочлен Эрхарта L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрхарта пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, и вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле:^[1]

(t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = P_t + 1.

Производящая функция

Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:

$\mathbf 1x+\mathbf5 x^2+\mathbf{14}x^3+\mathbf{30}x^4+\mathbf{55}x^5+\ldots = \frac{x(x+1)}{(x-1)^4}.$

Связь с другими фигурными числами

Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биноминальных коэффицентов:

$P_n = \binom{n + 2}{3} + \binom{n + 1}{3}.$

Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдрические числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдрическими следующим образом:

$P_n=\frac14\binom{2n+2}{3}.$

Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом (англ.)русск..

Примечания

1. ↑ Beck, M.; De Loera, J. A.; Develin, M. & Pfeifle, J. (2005), "Coefficients and roots of Ehrhart polynomials", «Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization», vol. 374, Contemp. Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., сс. 15—36 

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Square Pyramidal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.) Handbook of Mathematical Functions. — National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, 1964. — P. 813. — ISBN 0486612724