Парадокс Даламбера

Парадокс Даламбера — утверждение в гидродинамике идеальной жидкости, согласно которому при непрерывном стационарном обтекании тела безграничным поступательным потоком невязкой жидкости, при условии выравнивания параметров далеко впереди и позади тела, сила сопротивления равна нулю.

Варианты названия парадокса

Наряду с названием парадокс Даламбера^[1] в научной литературе встречаются названия парадокс Даламбера — Эйлера, парадокс Эйлера — Даламбера^[2][3] и парадокс Эйлера^[4].

Историческая справка

В частном случае обтекания тела, симметричного относительно поперечной плоскости, внутри канала обращение сопротивления в нуль было обнаружено Даламбером в 1744 году^[5]. В общем виде (для тела произвольной формы) обращение силы сопротивления в нуль было установлено Эйлером в 1745 году^[6]. Термин «парадокс» для характеристики обращения сопротивления в нуль был впервые использован Даламбером в 1768 году^[7].

Различные варианты парадокса Даламбера

В силу принципа относительности Галилея можно говорить и о парадоксе Даламбера в случае поступательного движения тела с постоянной скоростью в безграничном объеме идеальной жидкости, который покоится на бесконечности.

Кроме этого парадокс Даламбера справедлив при обтекании тела потоком, заключенным в бесконечный цилиндрический канал.

Особенности формулировки парадокса Даламбера

Важно отметить, что в формулировке парадокса говорится только об отсутствии составляющей силы, действующей на тело, которая параллельна потоку на бесконечности (об отсутствии силы сопротивления). Составляющая силы, которая перпендикулярна потоку (подъемная сила), может быть отлична от нуля даже при выполнении всех условий парадокса (так, например, обстоит дело для двумерных задач: подъемная сила вычисляется по известной формуле Жуковского).

Обратим внимание на то, что момент сил, действующих на тело со стороны потока, может быть, вообще говоря, отличен от нуля. Так, при безотрывном обтекании наклонённой к потоку пластинки даже при нулевой циркуляции скорости (и, следовательно, при нулевой подъемной силе) возникает момент сил, стремящийся повернуть пластинку поперёк потока.

При наличии объемных сил (например, силы тяжести) со стороны жидкости на тело может действовать сила Архимеда, однако ее нельзя считать составляющей силы сопротивления, ибо она не обращается в нуль в покоящейся жидкости.

Случаи нарушения парадокса Даламбера

Как это хорошо известно, при обтекании тела реальным потоком жидкости всегда имеется ненулевая сила сопротивления, наличие которой объясняется нарушением тех или иных условий, входящих в формулировку парадокса Даламбера. В частности,

• если жидкость не является идеальной (обладает конечной вязкостью), может возникать сила сопротивления, прямо или косвенно связанная с действием вязкого трения;
• если движение тела в жидкости не является стационарным, то даже в модели невязкой жидкости возникает сила сопротивления инерционной природы, связанная с тем, что при движении тела с переменной скоростью кинетическая энергия окружающей жидкости меняется со временем;
• если течение не является непрерывным (например, в потоке имеются поверхности разрыва), то параметры потока далеко впереди и позади тела могут не совпадать, что приводит к ненулевому сопротивлению (модель струйных течений Кирхгофа-Гельмгольца). Примерами служат
  • тело в плоском потоке, порождающее за собой цепочку сосредоточенных вихрей (модель вихревой дорожки Кармана);
  • крыло конечного размаха, с которого сходит уходящая в бесконечность поверхность разрыва касательной составляющей скорости (т. н. вихревая пелена); связанное с этим явлением сопротивление называют индуктивным;
  • образование ударных волн при сверхзвуковом обтекании тела газовым потоком;
• если жидкость не занимает всё пространство вокруг тела, то парадокс Даламбера также может нарушаться. Типичными примерами являются
  • образование за телом уходящей в бесконечность полости, заполненной покоящейся жидкостью (модель кавитационной полости);
  • образование волн на поверхности жидкости (гравитационные волны на воде), на создание которых требуются затраты энергии, что приводит к возникновению волнового сопротивления; аналогичную природу имеет сопротивление за счет возникновения внутренних волн при движении тела в стратифицированной жидкости (скажем, на границе двух слоев жидкости с разной плотностью).
• если параметры потока далеко впереди и позади тела не выравниваются, то сила сопротивления также может быть отлична от нуля. В частности, так обстоит дело при подводе тепловой энергии к потоку или при образовании за телом области («следа»), параметры в которой отличны от параметров в основном потоке на бесконечности.

Если создать условия, в которых обтекание тела будет достаточно близко к условиям в формулировке парадокса Даламбера, например придать телу обтекаемую (каплеобразную или эллипсоидальную) форму, то возможно добиться существенного — в десятки и сотни раз — снижения сопротивления по сравнению с плохообтекаемыми (например, в форме куба) телами с тем же миделевым сечением.

Литература

• Grimberg G., Pauls W., Frisch U. Genesis of d'Alembert's paradox and analytical elaboration of the drag problem // Physica D. — 2008. — Т. 237.

Внешние ссылки

• Статья «Д'Аламбера - Эйлера парадокс» в Большой Советской Энциклопедии

Ссылки

1. ↑ Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — 568 с.
2. ↑ Чёрный Г. Г. Газовая динамика. — М.: Наука, 1988. — 424 с. — ISBN 5-02-013814-2
3. ↑ Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 1. — 584 с.
4. ↑ Чаплыгин С. А. Результаты теоретических исследований о движении аэропланов // Избранные труды. Механика жидкости и газа. Математика. Общая механика. — М.: Наука, 1976. — С. 131-141.
5. ↑ Пункт 247 и рис. 77 в книге: D’Alembert Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides. — 1744.
6. ↑ Эйлер Л. Новые основания артиллерии // Ред. Б. Н. Окунев Исследования по баллистике. — М.: Физматлит, 1961. — С. 7-452.
7. ↑ D’Alembert Paradoxe proposé aux Géomètres sur la résistance des fluides // Opuscules mathématiques. — Paris, 1768. — Т. 5. — С. 132-138.