Правила Фейнмана

Правила Фе́йнмана в квантовой теории поля — правила соответствия между вкладами определенного порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и диаграмм Фейнмана. Регулярный вывод правил Фейнмана основан на применении теоремы Вика для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от которых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В правилах Фейнмана центральную роль играют пропагаторы квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, то есть вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений:

$u_a (x) u_b (y) = < T u_a (x) u_b (y) >_0$

которые также равны причинным функциям Грина этих полей:

$u_a (x) u_b (y) = i \delta_{a,b} \Delta_{a}^{c} (x-y)$

Наряду с пропагаторами $i \Delta (x-y)$, которым в диаграммах Фейнмана соответствуют линии, соединяющие точки х и у, и которые полностью характеризуют взаимодействующие поля, правила Фейнмана включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.

Существуют две разновидности правил Фейнмана

1. правила в координатном представлении, на основе которых можно сопоставить диаграммы вкладам в S-матрицу, выраженным через операторные полевые функции
2. более полезными оказываются правила Фейнмана в импульсном представлении, которые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими квантовыми числами значениями 4-импульсов частиц.

В дальнейшем термином «правила Фейнмана» будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.

В этом представлении вместо вышеприведенных выражений используют их фурье-образы $\Delta_a (p)$, которым на диаграмме Фейнмана соответствуют внутренние линии, по которым как бы движутся частицы с импульсом р. Места встречи линий — вершины — описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно правилам Фейнмана, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодействия. В качестве иллюстрации в таблице приведены правила соответствия для квантовой электродинамики в диагональной (иначе фейнмановской) калибровке электромагнитного поля.

Правила Фейнмана для квантовой электродинамки

	Элементы Диаграммы		Фактор в S-матричном элементе
	название	изображение
1	Вершина		$(2 \pi)^4 ie \gamma^{\mu}\delta^{(4)}(p+k-p')$
2	Внутренняя фотонная линия		$\frac{1}{(2 \pi)^4 i } \frac { \varepsilon_{\mu , \nu} }{- k^2}$
3	Внутренняя электронно-позитронная линия		$\frac{1}{(2 \pi)^4 i} \frac {m + \hat{p}}{m^2 - p^2} \hat{p} = \gamma ^ {\mu} \rho_{\mu}$
4	Внешняя фотонная линия		$\frac {(e^{\alpha} (k) )_{\mu}}{(2\pi)^(3/2) \sqrt{2 k_0}}$
5	Внешняя выходящая электронная линия		$(2 \pi)^{-3/2} \vec {v_{\sigma}} (\rho)$
6	Внешняя выходящая линия		$(2 \pi)^{-3/2} \vec {v_{\rho}}(\rho)$
7	для построения вклада n-го порядка по e в матричный элемент заданного процесса следует нарисовать все диаграммы, содержащие ровно n вершин, соединяющие их внутренние линии и заданный набор внешних линий, определяемый суммарно начальным и конечным состоянием рассматриваемого процесса. При этом следует иметь в виду, что направления, указанные стрелками на электронных линиях, отвечают движению позитрона против направления стрелок
8	каждой из этих диаграмм по правилам соответствия из табл. путём перемножения факторов из правой колонки, упорядоченных по движению вдоль электронных линий, ставится в соответствие выражение, которое затем должно быть проинтегрировано по 4-импульсам и просуммировано по всем индексам всех внутр. линий;
9	если в диаграмме имеется $l$ замкнутых электронных петель, то всё выражение должно быть умножено на (— 1)l
10	если в диаграмме имеется топологическая симметрия k-го порядка, то есть можно переставить k вершин, не изменив топологию диаграммы, то следует добавить множитель (k!)−1
11	если в начальном или конечном состоянии имеются тождественные частицы, то следует провести соответствующую симметризацию.

Выражение, стоящее в первой строке таблицы правил соответствия, отвечает структуре лагранжиана взаимодействия $\mathcal{L}(x) = e \psi (x) \gamma^{\mu} \psi (x) A_{\mu} (x)$, за исключением множителя $i$, который учитывает тот факт, что вклад n-го порядка в S-матрицу содержит множитель $i^n$:

$S_n \approx \frac{i^n}{n!} \int{T \left ( \mathcal{L}(x_1) ... \mathcal{L}(x_n) \right )} dx_1 ... dx_n$

Две следующие строчки содержат пропагаторы полей, а затем в правилах соответствия фигурируют вектор поляризации фотона $e^{\alpha} (k)$ и неквантованные дираковские спиноры $\vec{v}(\rho), v(p)$, являющиеся решениями свободного уравнения Дирака и отвечающие электронам (и/или позитронам) в начальном и конечном состояниях.

Пример применения

Пользуясь приведёнными правилами Фейнмана, получим матричный элемент процесса е⁻+е⁻ → е⁻+е⁻ (то есть мёллеровского рассеяния электронов) в низшем, втором по e, порядке теории возмущений. Единственной диаграммой оказывается диаграмма, приведённая на рис. 6. Используя введённые на этом рисунке импульсные обозначения, положим, что импульсы электронов в начальном состоянии равны p₁ и р₂, а электроны конечного состояния обладают импульсами — q₁ , q₂ (при этом, разумеется, q₁⁰ < 0, q₂⁰ < 0). Используя правила (1), (2), (5), (6) и (8), находим:

$M( p_1 , p_2, -q_1, -q_2 ) = \frac {e^2}{i (2 \pi)^2} \delta( p_1 + p_2 +q_1 + q_2) \frac { g_{\mu, \nu}}{( p_1+q_1)^2 } \vec{v_{\sigma}} (- q_1) \gamma^{\mu} v_{\rho}(p_1)$$\vec{v_{\kappa}} (- q_2) \gamma^ {\nu} v_{\lambda} ( p_2 )$

Согласно правилу (11), это выражение следует ещё антисимметризовать по электронам начального и конечного состояний.

Из релятивистской квантовой теории поля метод диаграмм Фейнмана и правила Фейнмана непосредственно переносится в квантовую статистику при нулевой температуре и без труда формулируется для теории возмущений при конечной температуре.

См. также

Диаграммы Фейнмана

Литература

• Feynman R. P., Space-time approach to quantum electrodynamics, «Phys. Rev.», 1949, v. 76, p. 769
• Фейнман Р., Квантовая электродинамика, пер. с англ., М., 1964 djvu-формат книги
• Биленький С. М., Введение в диаграммную технику Фейнмана, М., 1971
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993.