Туннелирование через прямоугольный барьер

Задача о прохождении через потенциальный барьер формулируется в связи с вопросом о вероятности туннелирования в квантовой механике и возникает повсеместно как первоначальное нулевое приближение поскольку имеет простое аналитическое решение.

Решение

Потенциальная энергия как функция координаты

Запишем волновую функцию для трёх областей в виде

$\psi_1(x)=e^{ik_1x}+re^{-ik_1x} \,(x<0)$

$\psi_2(x)=Ae^{k_2x}+Be^{-k_2x}\,(0<x<a)$

$\psi_3(x)=te^{ik_1x}\,(a<x).$

Здесь предполагается, что волновые вектора

$k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$

$k_2=\sqrt{\frac{2m(V-E)}{\hbar^2}}.$

Произведём сшивку волновых функций и их производных на границах и получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными

$1+r=A+B$

$ik_1-irk_1=k_2A-k_2B$

$Ae^{k_2a}+Be^{-k_2a}=te^{ik_1a}$

$k_2Ae^{k_2a}-k_2Be^{-k_2a}=ik_1te^{ik_1a}.$

Решая их

$A\left(1-i\frac{k_2}{k_1}\right)+B\left(1+i\frac{k_2}{k_1}\right)=2$

$A=\frac{t}{2}e^{-k_2a}e^{ik_1a}\left(1+i\frac{k_1}{k_2}\right)$

$B=\frac{t}{2}e^{k_2a}e^{ik_1a}\left(1-i\frac{k_1}{k_2}\right)$

$te^{-k_2a}\left(1+i\frac{k_1}{k_2}\right)\left(1-i\frac{k_2}{k_1}\right)+te^{k_2a}\left(1-i\frac{k_1}{k_2}\right)\left(1+i\frac{k_2}{k_1}\right)=4e^{-ik_1a}$

$t=\frac{4e^{-ik_1a}}{e^{-k_2a}\left(2+i\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)\right)+e^{k_2a}\left(2-i\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)\right)}$

$t=\frac{4e^{-ik_1a}}{4\cosh{k_2a}-2i\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)\sinh{k_2a}}$

найдём выражение для коэффициента прохождения

$T=|t|^2=t=\frac{1}{\cosh^2{k_2a}+\frac{1}{4}\left(\frac{k_1}{k_2}-\frac{k_2}{k_1}\right)^2\sinh^2{k_2a}}=\frac{1}{1+\frac{(k_1^2+k_2^2)^2}{4k_1^2k_2^2}\sinh^2{k_2a}}.$

Здесь также можно перейти к пределу дельтообразного потенциала $U(x)=g\delta(x)$, а именно рассмотреть предел бесконечно высокого и бесконечно узкого потенциала такого что произведение $Va=g$, где g — некая константа. В итоге получим

$T=\frac{1}{1+g^2\frac{m}{2\hbar^2E}}.$

В случае, если энергия частицы выше барьера

$k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}}$

получим другой ответ

$T=\frac{1}{1+\frac{(k_1^2-k_2^2)^2}{4k_1^2k_2^2}\sin^2{k_2a}}.$

Литература

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN ISBN 0-13-111892-7