Туннелирование через дельтообразный потенциал

Задача о туннелировании через дельтообразный барьер — это стандартная модельная задача квантовой механики. Задача состоит в решении одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака.

Решение

Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции $\psi(x)$ записывается в виде

$\hat{H}\psi(x)= \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x) \right ] \psi(x)=E\psi(x),$

где $\hat{H}$ — гамильтониан, $\hbar$ — постоянная Планка, $m$ — масса, $E$ — энергия частицы и $V(x)=\frac{\lambda}{m}\delta(x)$ — дельтообразный потенциальный барьер с $\lambda >0$.

Барьер делит пространство на две части ($x<0, x>0$). В обеих этих областях решение уравнения Шрёдингера представляет собой плоские волны и может быть записано в виде их суперпозиции:

$\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx},\quad x<0,$

$\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx},\quad x>0,$

где $k=\sqrt{2m E}/\hbar$ — волновой вектор. Индексы $r$ и $l$ при коэффициентах $A$ и $B$ указывают на направление волнового вектора вправо и влево. Эти коэффициенты могут быть найдены из условия непрерывности волновой функции $\psi_L(0)=\psi_R(0)$ и условия непрерывности плотности потока вероятности при $x=0$:

$-\frac{\hbar^2}{2 m} \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \psi''(x) \,dx + \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} V(x)\psi(x) \,dx = E \int_{-\epsilon}^{+\epsilon} \psi(x) \,dx, \quad \epsilon \rightarrow 0,$

$-\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \psi_R'(0) - \psi_L'(0)\ \right) + \frac{\lambda}{m} \psi(0) = 0,$

$\frac{d\psi_L}{dx}(0) = \frac{d\psi_R}{dx}(0) - \frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R(0).$

Эти условия дают следующие уравнения связи для коэффициентов $A$ и $B$:

$A_r+A_l=B_r+B_l,$

$ik(A_r-A_l-B_r+B_l)=-\dfrac{2\lambda}{\hbar^2} \left( B_r+B_l \right).$

Коэффициенты прохождения и отражения

В классическом случае частица с конечной энергией $E>0$ не может преодолеть бесконечный потенциальный барьер. При квантовом подходе, однако, возможно туннелирование. Пусть падающая частица приближается к барьеру слева ($A_r=1$ и $B_l =0$), тогда коэффициенты $A_l=r$ и $B_r=t$, определяющие вероятность отражения и прохождения соответственно, имеют вид:

$t=\frac{1}{\frac{i\lambda}{\hbar^2k}+1},$

$r=\frac{1}{\frac{i\hbar^2 k}{\lambda}-1}.$

Неожиданным результатом с классической точки зрения является то, что имеется ненулевая вероятность прохождения (коэффициент прохождения) для бесконечно высокого барьера:

$T=|t|^2=\frac{1}{1+\frac{\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \frac{1}{1+\frac{\lambda^2}{2m\hbar^2 E}},$

$R=|r|^2=1-T=\frac{1}{1+\frac{\hbar^4k^2}{\lambda^2}}= \frac{1}{1+\frac{2m\hbar^2 E}{\lambda^2}}.$

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5