- Астроида
-
Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная) — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем .
Содержание
История
Название кривой предложил австрийский астроном Карл Людвиг фон Литров в 1838 г.
Уравнения
Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:
Параметрическое уравнение:
ВыводУравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмем уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтем R=4r и получим наши уравнения.
Уравнение в рациональном виде:
Свойства
- Имеются четыре каспа.
- Длина дуги от точки с 0 до
- Длина всей кривой .
- Радиус кривизны:
- Площадь, ограниченная кривой:
- Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
- Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.
- Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
- Астроида является эволютой эллипса.
Литература
- Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
Категория:- Кривые
Wikimedia Foundation. 2010.