- Сумма ряда
-
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).
Содержание
Определение
Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд
- (1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
- (1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд
- ,
а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды
- ,
причём сумма каждого равна соответственно .
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
Примеры
- где — сумма геометрической прогрессии, в частности
- .
- — гармонический ряд расходится.
- — телескопический ряд.
См. также
Обобщения числовых рядов
Признаки сходимости
- Логарифмический признак сходимости
- Признак Абеля
- Признак Гаусса
- Признак Дирихле
- Признак Ермакова
- Признак Лобачевского
- Признак Раабе
- Признак сходимости д’Аламбера
- Признаки Коши:
- Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд. — М.: Наука, 1977.
- Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
- Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2
Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.
Категория:- Ряды
Wikimedia Foundation. 2010.