- Экспонента комплексного переменного
-
Экспонента комплексного переменного
Экспоне́нта (комплексного переменного) — математическая функция, задаваемая соотношением f(z) = ez, где z есть комплексное число.
Вообще говоря, такое определение формально и не имеет достаточной строгости. Поэтому более точно экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты f(x) = ex вещественного переменного x.
Определим формальное выражение
.
Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции ez, т.е. показать, что ez разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:
Сходимость данного ряда легко доказывается:
.
Ряд всюду сходится абсолютно, т.е. вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции f(z) = ez. Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, функция ez является аналитической и определенной.
Комплексная экспонента, в отличие от экспоненты вещественного переменного, периодична. Из формулы Эйлера следует, что
.
Отметим, кроме того, что функция ez имеем чисто мнимый предел.
Из периодичности комплексной экспоненты следует, что максимальной областью однолистности будет горизонтальная полоса на комплексной плоскости
Литература
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
- Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.
Wikimedia Foundation. 2010.