Лемма Накаямы

Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Она имеет множество эквивалентных формулировок. Вот одна из них:

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1, I — идеал в R, а M — конечнопорождённый модуль над кольцом R. Если IM = M, тогда существует a ∈ I такой, что для всякого m ∈ M am = m.

Следствие 1: Если в условиях леммы идеал I обладает свойством, что для каждого его элемента a элемент 1-a обратим (например, это так, если I — максимальный идеал, а R - локальное кольцо), необходимо должно быть M = 0.

Доказательство леммы. Пусть $m_1,m_2,...,m_n$ — образующие модуля M. Так как M = IM, каждый из них представим в виде

$m_i = a_{i1}m_1 + a_{i2}m_2 + \dots + a_{in}m_n$, где $a_{ij}$ — элементы идеала I. То есть $\sum\limits_{j} (\delta_{ij} - a_{ij})m_j = 0$.

Из формулы Крамера для этой системы следует, что при всяком j

$\operatorname{det}(\delta_{ij} - a_{ij})\cdot m_j = 0$.

Так как $\operatorname{det}(\delta_{ij} - a_{ij})$ представим в виде 1-a, a из I, лемма доказана.

Применение к модулям над локальными кольцами

Пусть R — локальное кольцо, $\mathfrak{m}$ — максимальный идеал в R, M — конечнопорождённый R-модуль, и $\phi: M \to M/\mathfrak{m}M$ — гомоморфизм факторизации. Лемма Накаямы даёт удобное средство для перехода от модуля M над локальным кольцом R к фактормодулю $M/\mathfrak{m}M$, которое есть конечномерное векторное пространство над полем $R/\mathfrak{m}$. Следующее утверждение также считается одной из форм леммы Накаямы, применительно к этому случаю:

Элементы $m_1,m_2,...,m_n\in M$ порождают модуль M тогда и только тогда, когда их образы $\,\phi(m_1),\phi(m_2),...,\phi(m_n)$ порождают фактормодуль $M/\mathfrak{m}M$.

Доказательство. Пусть S — подмодуль в M, порождённый элементами $m_1,m_2,...,m_n$, Q = M/S — фактормодуль и $\pi: M \to Q$ — гомоморфизм факторизации. Так как $\,\phi(m_1),\phi(m_2),...,\phi(m_n)$ порождают фактормодуль $M/\mathfrak{m}M$, это означает, что для всякого $m\in M$ существует $s\in S$, такой что $m-s\in \mathfrak{m}M$. Тогда $\pi(m) = \pi(m-s)\in \mathfrak{m}Q$. Поскольку $\pi$ сюръективно, это означает, что $Q = \mathfrak{m}Q$. По лемме Накаямы (точнее, согласно Следствию 1) Q=0, то есть S=M.

Имеется ещё один вариант леммы Накаямы для модулей над локальными кольцами:

Пусть $\phi:\,M\to N$ — гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей. Он индуцирует гомоморфизм фактормодулей $\phi_0:\,M/\mathfrak{m}M\to N/\mathfrak{m}N$. Эти гомоморфизмы сюръективны или не сюръективны одновременно.

На основе этой формы леммы Накаямы выводится следующая важная теорема:

Всякий (конечнопорождённый) проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Литература

• М. Атья, И. Макдональд Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.