- Замечательные точки треугольника
-
Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.
Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника.
Содержание
Примеры
Замечательными точками треугольника являются
- Точки пересечения:
- Медиан — центроид, центр масс;
- Биссектрис — инцентр, центр вписанной окружности;
- Высот — ортоцентр;
- Серединных перпендикуляров — центр описанной окружности;
- Cимедиан — точка Лемуана;
- Биссектрис серединного треугольника (его инцентра) — точка Шпикера;
- Точки пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника:
- c точками касания противоположных сторон и вписанной окружности — точка Жергонна;
- c точками касания противоположных сторон и вневписанной окружности — точка Нагеля;
- c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника (наружу) — первая точка Торричелли
- с соответствующими свободными вершинами правильных треугольников, построенных внутрь треугольника — вторая точка Торричелли.
- c соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных исходному треугольнику и построенных на его сторонах — точки Брокара;
- Центр окружности девяти точек.
Задание
Барицентрические координаты центра, записанные через стороны (или тригонометрические функции углов) треугольника, дают возможность перевести многие задачи о центрах треугольника на алгебраический язык. Например, выяснить, задают ли два определения один и тот же центр или лежат ли три данных центра на одной прямой.
Вариации и обобщения
- Рассматривают пары центров. Например
- точки Брокара.
- Точки Аполлония. Для всякого невырожденного треугольника АВС можно построить окружность Аполлония к стороне АВ, проходящую через точку С. Окружности, построенные таким образом к трём сторонам, будут пересекаться в двух точках — внутренней и внешней Аполлония соответственно.
Литература
- Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — 688 c.: ил.
- А. Г. Мякишев Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
См. также
- Оси треугольника
- Окружность девяти точек
- Отрезки и окружности, связанные с треугольником
- Прямая Симсона
- Прямая Эйлера
- Точка Ферма
Ссылки
Категория:- Замечательные точки треугольника
- Точки пересечения:
Wikimedia Foundation. 2010.