Метод бисекции

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Не следует путать с Двоичный поиск.

Не следует путать с Дихотомия.

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам — простейший численный метод для решения нелинейных уравнений вида f(x)=0. Предполагается только непрерывность функции f(x). Поиск основывается на теореме о промежуточных значениях.

Обоснование

Алгоритм основан на следующем следствии из теоремы Больцано — Коши:

Пусть непрерывная функция $f(x)\in\mathrm{C}([a,\;b])\!$, тогда, если $sign(f(a)) \ne sign(f(b))$, то $\exist c\in[a,\;b]:\;f(c)=0$.

Таким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть противоположных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, на концах которой функция по-прежнему принимает значения противоположных знаков. Если значение функции в серединной точке оказалось искомым нулём, то процесс завершается.

Точность вычислений задаётся одним из двух способов:

1. $\varepsilon_{f(x)}$ по оси $y$, что ближе к условию $f(x)=0$ из описания алгоритма; или
2. $\varepsilon_x\!$, по оси $x$, что может оказаться удобным в некоторых случаях.

Процедуру следует продолжать до достижения заданной точности.

Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции.

Описание алгоритма

Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения

$f(x)=0. \qquad ( 1 )$

Для начала итераций необходимо знать отрезок $[x_L,x_R]$ значений $x$, на концах которого функция принимает значения противоположных знаков.

Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

$f(x_L)\cdot f(x_R)<0, \qquad ( 2.1 )$

в действительных вычислениях такой способ проверки противоположности знаков при крутых функциях приводит к преждевременному переполнению.

Для устранения переполнения и уменьшения затрат времени, т.е. для увеличения быстродействия, на некоторых программно-компьютерных комплексах противоположность знаков значений функции на концах отрезка нужно определять по формуле:

$sign(f(x_L)) \ne sign(f(x_R)), \qquad ( 2.2 )$

так как одна операция сравнения двух знаков двух чисел требует меньшего времени, чем две операции: умножение двух чисел (особенно с плавающей запятой и двойной длины) и сравнение результата с нулём. При данном сравнении, значения функции $f(x)$ в точках $x_L$ и $x_R$ можно не вычислять, достаточно вычислить только знаки функции $f(x)$ в этих точках, что требует меньшего машинного времени.

Из непрерывности функции $f(x)$ и условия (2.2) следует, что на отрезке $[x_L,x_R]$ существует хотя бы один корень уравнения (в случае не монотонной функции $f(x)$ функция имеет несколько корней и метод приводит к нахождению одного из них).

Найдём значение $x$ в середине отрезка:

$x_M=(x_L+x_R)/2, \qquad ( 3 )$

в действительных вычислениях, для уменьшения числа операций, в начале, вне цикла, вычисляют длину отрезка по формуле:

$x_D=(x_R-x_L),$

а в цикле вычисляют длину очередных новых отрезков по формуле: $x_D=x_D/2$ и новую середину по формуле:

$x_M=x_L+x_D.$

Вычислим значение функции $f(x_M)$ в середине отрезка $x_M$:

• Если $f(x_M)=0$ или, в действительных вычислениях, $|f(x_M)|\leq\varepsilon_{f(x)}$, где $\varepsilon_{f(x)}$ — заданная точность по оси $y$, то корень найден.
• Иначе $f(x_M)\ne 0$ или, в действительных вычислениях, $|f(x_M)|>\varepsilon_{f(x)}$, то разобьём отрезок $[x_L,x_R]$ на два равных отрезка: $[x_L,x_M]$ и $[x_M,x_R]$.

Теперь найдём новый отрезок, на котором функция меняет знак:

• Если значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на левом отрезке, $\! f(x_L)\cdot f(x_M)<0$ или $sign(f(x_L)) \ne sign(f(x_M))$, то, соответственно, корень находится внутри левого отрезка $[x_L,x_M]$. Тогда возьмём левый отрезок присвоением $x_R=x_M$, и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности $\varepsilon_{f(x)}$ по оси $y$.
• Иначе значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки на правом отрезке, $\! f(x_M)\cdot f(x_R)<0$ или $sign(f(x_M)) \ne sign(f(x_R))$, то, соответственно, корень находится внутри правого отрезка $[x_M,x_R]$. Тогда возьмём правый отрезок присвоением $x_L=x_M$, и повторим описанную процедуру до достижения требуемой точности $\varepsilon_{f(x)}$ по оси $y$.

За количество итераций $N$ деление пополам осуществляется $N$ раз, поэтому длина конечного отрезка в $2^N$ раз меньше длины исходного отрезка.

Существует похожий метод, но с критерием останова вычислений $\varepsilon_x$ по оси $x$^[1], в этом методе вычисления продолжаются до тех пор, пока, после очередного деления пополам, новый отрезок больше заданной точности по оси $x$: $(x_R-x_L)>\varepsilon_x$. В этом методе отрезок на оси $x$ может достичь заданной величины $\varepsilon_x$, а значения функций $f(x)$ (особенно крутых) на оси $y$ могут очень далеко отстоять от нуля, при пологих же функциях $f(x)$ этот метод приводит к большому числу лишних вычислений.

В дискретных функциях $x_L, x_M$ и $x_R$ - это номера элементов массива, которые не могут быть дробными, и, в случае второго критерия останова вычислений, разность $(x_R-x_L)$ не может быть меньше $\varepsilon_x=1$.

Псевдокод

Пусть

• x_n – начало отрезка по х;
• x_k – конец отрезка по х;
• x_i – середина отрезка по х;
• eps_y – требуемая точность вычислений по y (заданное приближение |F(x_i)| к нулю).

Тогда алгоритм метода бисекции можно записать в псевдокоде следующим образом:

1. Начало.
2. Ввод x_n, x_k, eps_y.
3. Если F(x_n) = 0, то Вывод (корень уравнения – x_n).
4. Если F(x_k) = 0, то Вывод (корень уравнения – x_k).
5. Пока |F(x_i)| > eps_y повторять:
6. dx := (x_k - x_n) / 2;
7. x_i := x_n + dx;
8. если sign(F(x_n)) ≠ sign(F(x_i)), то x_k := x_i;
9. иначе x_n := x_i.
10. конец повторять
11. Вывод (Найден корень уравнения – x_i с точностью по y - eps_y).
12. Конец.

Поиск значения корня монотонной дискретной функции

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Поиск наиболее приближённого к корню значения в монотонной дискретной функции, заданной таблично и записанной в массиве, заключается в разбиении массива пополам (на две части), выборе из двух новых частей той части, в которой значения элементов массива меняют знак путем сравнения знаков срединного элемента массива со знаком граничного значения и повторении алгоритма для половины в которой значения элементов массива меняют знак.

Пусть переменные леваяГраница и праваяГраница содержат, соответственно, левую левГран и правую правГран границы массива, в которой находится приближение к корню. Исследование начинается с разбиения массива пополам (на две части) путём нахождения номера среднего элемента массива середина.

Если знаки значений массива массив[леваяГраница] и массив[середина] противоположны, то приближение к корню ищут в левой половине массива, то есть значением праваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только левая половина массива. Если знаки значений массив[леваяГраница] и массив[середина] одинаковы, то осуществляется переход к поиску приближения к корню в правой половине массива, то есть значением переменной леваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только правая половина массива. Т.о., в результате каждой проверки область поиска сужается вдвое.

Например, если длина массива равна 1023, то после первого сравнения область сужается до 511 элементов, а после второго — до 255. Т.о. для поиска приближения к корню в массиве из 1023 элементов достаточно 10 проходов (итераций).

Псевдокод:^{[источник не указан 1266 дней]}

леваяГраница = левГран
праваяГраница = правГран
длинаОтрезка = правГран - левГран
while (праваяГраница - леваяГраница > 1) {
   половинаОтрезка = int(длинаОтрезка / 2) 
   середина = леваяГраница + половинаОтрезка
   if (sign(массив[леваяГраница]) ≠ sign(массив[середина]))
      праваяГраница = середина
   else
      леваяГраница = середина
}
printf середина

См. также

• Линейный поиск
• Двоичный поиск
• Метод дихотомии
• Метод золотого сечения
• Троичный поиск
• Метод Ньютона

Примечания

1. ↑ Метод половинного деления

Литература

• Волков Е. А. Глава 4. Методы решения нелинейных уравнений и систем. § 26. Метод деления отрезка пополам // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 190. — 248 с.

Ссылки

Имеется викиучебник по теме
«Программные реализации метода бисекции»

• Метод бисекции на сервере применения Mathcad.
• Метод бисекции Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica
• Использование метода бисекции в программировании свободно распространяемая программа для вычисления изоэлектрической точки.