- Формула Кардано
-
Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения
над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.
Любое кубическое уравнение общего вида
при помощи замены переменной
может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами
Формула
Определим Q:
Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:
- Q > 0 — один вещественный корень и два сопряженных комплексных корня.
- Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
- Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа.
По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:
где
Дискриминант многочлена при этом равен .
Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений необходимо брать такое , для которого выполняется условие (такое значение всегда существует).
Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения .
ВыводПредставим уравнение в виде
где - корни уравнения.Тогда
Примем:
Тогда , решая уравнение (2) получим выражение для каждого через α и β. Одним из корней будет . Подставив его в уравнение (1) получим.
Подставляя q из (2), приходим к системе:
- Зная, что в общем случае сумма не равна нулю получаем систему
которая равносильна системе
Последняя представляет из себя формулы Виета для двух корней и квадратного уравнения:
См. также
Ссылки
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, М.: Наука, 1968 г. — с. 47.
- Онлайн решение кубического уравнения
- http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
Категории:- Многочлены
- Алгебраические уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.