Аксиома булеана

Аксиома существования булеана (аксиома множества подмножеств) формулируется так: «из любого множества можно образовать булеан, то есть такое множество $~ d$, которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств $~ b$ данного множества $~ a$». Согласно теории множеств математически эта аксиома записывается так:

$~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a) \ )$

В аксиоме булеана указан тип множеств (подмножества множества $~ a$), которые должны быть элементами образуемого множества $~ d$. Вместе с тем, аксиома булеана не содержит алгоритм нахождения всех элементов образуемого множества $~ d$.

Аксиому булеана можно вывести из следующих высказываний:

• $~ \exist d \forall b \ (b \subseteq a \to b \in d)$

• $~ \forall d \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in d \land b \subseteq a)$

Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы булеана, а второе — одна из конкретизаций схемы выделения.

Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность булеана для каждого множества $~ a$. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома булеана равносильна высказыванию

$~ \forall a \exists ! d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)$, что есть $~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\} \quad \land \quad \forall d' \ (d' \ne d \to d' \ne \{b: b \subseteq a\}) \ )$.

Альтернативные формулировки аксиомы

$~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a)$, где $~ b \subseteq a \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a)$

$~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\})$

$~ \forall a \exist d \forall b \ (b \notin d \leftrightarrow \exist c \ (c \in b \land c \notin a))$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Булеан