Дифферинтеграл

Дифферинтеграл

Дифферинтеграл в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, используется в дифференциальном и интегральном исчислении дробного порядка. Сам по себе оператор не задаёт новую функцию, а лишь служит для обозначения операции взятия производной/интеграла дробного порядка.

Оператор обозначается следующим образом: $\mathbb{D}^q_t.$

Определения

Три наиболее употребительных формулы:

• Дифферинтеграл Римана-Лиувилля

Самая простая и часто употребимая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.

${}_a\mathbb{D}^q_t\!f(t)$	$=\frac{d^q\!f(t)}{d(t-a)^q}$
	$=\frac{1}{\Gamma(n-q)} \frac{d^n}{dt^n} \int\limits_{a}^{t}\!(t-\tau)^{n-q-1}f(\tau)\,d\tau$

• Дифферинтеграл Грюнвальда-Летникова

${}_a\mathbb{D}^q_t\!f(t)$	$=\frac{d^q\!f(t)}{d(t-a)^q}$
	$=\lim_{N \to \infty}\left[\frac{t-a}{N}\right]^{-q}\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^j{q \choose j}f\left(t-j\left[\frac{t-a}{N}\right]\right)$

• Дифферинтеграл Вейля

Формально похож на дифферинтеграл Грюнвальда-Летникова, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как $\mathcal{F}$ :

$F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty\!f(t) e^{- i\omega t}\,dt.$

В фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

$\mathcal{F}\left[\mathbb{D}\!f(t)\right] = \mathcal{F}\left[\frac{df(t)}{dt}\right] = i \omega \mathcal{F}[f(t)].$

Поэтому,

$\mathbb{D}\!f(t) = \mathcal{F}^{-1}\left\{(i \omega)\mathcal{F}[f(t)]\right\},$

что сводится к

$\mathbb{D}^q\!f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i \omega)^q\mathcal{F}[f(t)]\right\}.$

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном $\mathcal{L}$, дифференцирование заменяется умножением

$\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right] = s\mathcal{L}[f(t)].$

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно D^qf(t), получаем

$\mathbb{D}^q\!f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{s^{q}\mathcal{L}[f(t)]\right\}.$

Основные свойства

• Линейность

$\mathbb{D}^{q}(x+y)=\mathbb{D}^{q}(x)+\mathbb{D}^{q}(y)$

$\mathbb{D}^{q}(ax)=a\mathbb{D}^{q}(x)$

• Полугрупповое свойство

$\mathbb{D}^a\mathbb{D}^{b}x = \mathbb{D}^{a+b}x$

• Правило нуля

$\mathbb{D}^{0}x=x$

• Подклассы дифферинтеграла

$\mathbb{D}^{a}x=d^{a}x$ для натуральных a

• Дифферинтеграл от произведения

$\mathbb{D}^q_t(xy)=\sum_{j=0}^{\infty} {q \choose j}\mathbb{D}^j_t(x)\mathbb{D}^{q-j}_t(y)$

Некоторые важные формулы

• $\mathbb{D}^{q}(t^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}t^{n-q}$
• $\mathbb{D}^{q}(\sin(t))=\sin \left( t+\frac{q\pi}{2} \right)$
• $\mathbb{D}^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}$

См. также

• Дифференциальный оператор
• Дробная производная

Ссылки

• Интегралы и производные дробного порядка и их приложенияю С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Минск, 1987(DjVU)

Журналы

• Fractional Calculus and Applied Analysis, An International Journal for Theory and Applications
• Fractional Dynamic Systems (FDS)