- Формула Брахмагупты
-
Фо́рмула Брахмагу́пты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.
Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон и полупериметр , то его площадь равна
ДоказательствоПлощадь вписанного в окружность четырехугольника равна сумме площадей и
Так как является вписанным четырехугольником, то Следовательно, :
Записав теорему косинусов для стороны в и получаем:
Используем ( и противолежащие), а затем выносим за скобки :
Подставим полученное в полученную ранее формулу площади:
Применим формулу :
Так как полупериметр
Извлекая квадратный корень, получаем:
Близкие результаты и обобщения
- Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, ).
- На случай невписанных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть распространена следующим образом:
где есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна , то полусумма двух других углов будет и )
Иногда эту более общую формулу записывают так:
где и — длины диагоналей четырёхугольника.
- Д. Роббинс доказал, что для любого вписанного многоугольника с сторонами величина является корнем некоторого многочлена , коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для и . Другими авторами установлено, что многочлен можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень была равна , если и , если . Здесь
где
— биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем , , , , и , , ,
Популярная литература
- В. В. Прасолов. Формула Брахмагупты // Математика в школе. 1991, № 5.
- Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
Научная литература
- В. В. Варфоломеев. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Мат.сборник. 2003. Т. 194, № 3. С. 3—24.
- M. Fedorchuk, I. Pak. Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes // Duke Math. J. 2005. V. 129, No. 2. P. 371—404.
Категории:- Теоремы
- Планиметрия
Wikimedia Foundation. 2010.