Число Белла

В комбинаторике числом Белла B_n называется число всех неупорядоченных разбиений n-элементного множества, при этом по определению полагают B₀ = 1.

Число Белла можно вычислить как сумму чисел Стирлинга второго рода:

$B_n = \sum_{m=0}^n S(n,m)$

Для чисел Белла справедлива также формула Добинского:

$B_n = \frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}$.

Экспоненциальная производящая функция чисел Белла имеет вид

$\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}$.

Пример

Значения чисел Белла B_n для $n=0,1,\dots,10$:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (последовательность A000110 в OEIS)