Гипотеза Борсука

Гипо́теза Бо́рсука — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что

Любое тело диаметра d в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d.

Гипотеза была выдвинута Каролом Борсуком (полск.) в 1933 г. Сам Борсук доказал, что $n$-мерный шар нельзя разделить на $n$ частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей. Доказательство основано на теореме Борсука — Улама.

Вначале она была подтверждена в некоторых случаях:

• Случай n = 1 очевиден.
• Случай n = 2 был доказан самим Борсуком в 1933 году.
• Случай n = 3 был доказан Эгглстоном в 1955 году. Простое доказательство было найдено позже Бранко Грюнбаумом и Хеппесом.
• При всех n для выпуклых тел с гладкой границей — результат Хадвигера (англ.) (1946).
• При всех n для всех центрально-симметричных тел. Доказано А. С. Рисслингом.
• При всех n для всех тел вращения — результат Декстера 1995 года.

Калай и Кан^[1] построили контрпример в размерности n = 1325 и, кроме того, для каждого n привели примеры тел, которые нельзя разбить на $[1{,}1^{\sqrt{n}}]$ части меньшего диаметра (здесь [x] обозначает целую часть x). Таким образом, гипотеза неверна для всех достаточно больших n (точнее, $n\geqslant 9163$).

Следующий лучший результат^[2] показывает, что гипотеза неверна для всех $n\geqslant 298$

Примечания

1. ↑ J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 1, 60—62.
2. ↑ A. Hinrichs and C. Richter, New sets with large Borsuk numbers, Discrete Math. 270 (2003), 137—147

Литература

• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Разбиение фигур на меньшие части, «Популярные лекции по математике», Выпуск 50, М., «Наука» 1971 г., 88 стр.
• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. (1965) (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
• М. Л. Гервер, «О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).
• А. Б. Скопенков, «n-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).
• Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрия и теории выпуклых тел. М., «Наука», 1971.