- Континуум-гипотеза
-
В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом:
Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.
Другими словами, мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.
Содержание
История
Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.
В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга (англ.) доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причем оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.
В предположении отрицания континуум-гипотезы имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов может выполняться равенство Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона (англ.).
Эквивалентные формулировки
Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:
- Прямая может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четверки чисел не выполняется условие [1]
- Плоскость может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой).[2]
- Пространство можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям Ox, Oy и Oz, cоответственно, лишь в конечном числе точек.[3]
- Пространство можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка P, что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через P, лишь в конечном числе точек.[4]
Вариации и обобщения
Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала выполняется равенство или, другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество S, найдётся подмножество, равномощное булеану 2S.[5]
Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г., из неё следует аксиома выбора.
Ссылки
Примечания
- ↑ http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1201/1201.1207v1.pdf (англ.)
- ↑ Вацлав Серпинский Cardinal And Ordinal Numbers. — Варшава: Polish Scientific Publishers, 1965. (англ.)
- ↑ Вацлав Серпинский О теории множеств. — Москва: Просвещение, 1966. (англ.)
- ↑ http://www.math.wisc.edu/~miller/old/m873-05/setplane.ps
- ↑ Континуума проблема. Проверено 30 января 2012.
Проблемы Гильберта 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 Категории:- Теория множеств
- Проблемы Гильберта
Wikimedia Foundation. 2010.