- Коллинеарные вектора
-
Два вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется, синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).
Содержание
Обозначения
- Коллинеарные векторы:
- Сонаправленные векторы:
- Противоположно направленные векторы:
Свойства коллинеарности
Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:
- Коллинеарность — отношение эквивалентности, то есть оно:
- Нулевой вектор коллинеарен любому вектору:
- Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению длин векторов (взятых со знаком «-», если векторы противоположно направлены)
- Векторное произведение коллинеарных векторов . Это критерий коллинеарности двух векторов.
- Коллинеарные векторы линейно зависимы. Это тоже критерий коллинеарности.
- Существует действительное число такое, что для коллинеарных и , за исключением особого случая . Это переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий коллинеарности.
- На плоскости 2 неколлинеарных вектора образуют базис. Это значит, что любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.
Другие объекты
Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного линейного пространства).
Иногда коллинеарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной прямой.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.