- Открытое подмножество
-
Откры́тое мно́жество в математическом анализе, геометрии — это множество, каждая точка которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество также является фундаментальным понятием общей топологии.
Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). [1] [2]
Содержание
Евклидово пространство
Пусть есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда U называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки x0. Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.
Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.
Метрическое пространство
Пусть (X,ρ) — некоторое метрическое пространство, и . Тогда U называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки x0 относительно метрики ρ.
Топологическое пространство
Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.
Топологическое пространство по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств — «топологию», определённую на X. Подмножество , такое, что оно является элементом топологии (то есть ), называется открытым множеством относительно топологии .
См. также
Сноски
- ↑ Appert, Antoine Sur le meilleur terme primitif en topologie // Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques. — 1982. — № 3. — С. 65. (фр.)
- ↑ open set на everything2.com (англ.)
Wikimedia Foundation. 2010.