Числовые ряды

Сумма ряда, или бесконе́чная су́мма, или ряд, — математическое выражение, позволяющее записать бесконечное количество слагаемых и подразумевающее значение их суммы, которое можно получить в предельном смысле. Если значение суммы (в предельном смысле) существует, то говорят, что ряд сходится. В противном случае говорят, что он расходится.

Определение

Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ — последовательность чисел. Число $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$ называется n-ой частичной суммой ряда $\sum_{i=1}^\infty a_i$.

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм S_n, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число $S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$, то в этом случае пишут $\sum_{i=1}^{\infty}a_i=S$.

Сходимость

Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. Достаточные признаки сложнее:

• Признак Абеля
• Признак Дирихле
• Признак Лобачевского
• Признак Раабе
• Признак сходимости Д’Аламбера
• Признак Коши:
  • Радикальный признак Коши
  • Интегральный признак Коши
• Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Примеры

• $\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q},$ где | q | < 1, — сумма геометрической прогрессии, в частности
  • $\sum_{i=0}^\infin \frac{1}{2^i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 2$
• $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\,$.
• $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}={\infty}\,$ - гармонический ряд расходится.

См. также

• Действия с числовыми рядами
• Ряд Фурье
• Степенной ряд
• Ряд Тейлора