Теорема Асколи — Арцела

Теорема Асколи — Арцела

Теорема Асколи — Арцела

Теорема Арцела — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой.

Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела).

Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.

Содержание

Введение

В математическом анализе (а затем и в функциональном анализе) рассматриваются всевозможные семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах (метрических компактах) и исследуется вопрос о «полноте» таких семейств. В частности, возникает вопрос о существовании предела, например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке [a,b], а также о свойствах данного предела. Согласно критерию Коши, равномерный предел непрерывных функций, также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства C[a,b]. Существенным здесь является то, что область определения функций — компактное подмножество вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в полном метрическом пространстве. Аналогичный результат мы получим есть возьмём класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное метрическое пространство.

Полнота класса C[a,b] позволяет приблизить всякую непрерывную функцию последовательностью приближений, каждое из которых является функцией в некотором смысле «более простой» чем исходная. Об этом говорит теорема Вейерштрасса: каждую непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно точно приблизить полиномами.

Теорема Арцела относится к тому случаю, когда рассматривается некоторое семейство непрерывных функций F\subset C(K,Y), где K — метрический компакт, а Y — полное метрическое пространство, и исследуется вопрос о том, можно ли выделить из этого семейства сходящуюся подпоследовательность. Поскольку пространство C(K,Y) полное, то существование предельной точки означает, по существу, предкомпактность семейства F в C(K,Y). Поэтому теорему можно сформулировать в общем виде, говоря именно о предкомпактности.

Таким образом, Теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.

Существующий критерий предкомактности множества в полном пространстве требует проверки вполне ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому представляется целесообразным каким-то образом использовать свойства самих функций, входящих в семейство, чтобы получить критерий прекомпактности, пригодный для применения на практике.

В ходе исследований оказалось, что такими свойствами являются свойства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства.

Упоминание о равностепенной непрерывности было сделано одновременно Джулио Асколи (ит.)(1883—1884)[1] и Чезаре Арцела (ит.) (1882—1883)[2]. Слабая форма теоремы была доказана Асколи в 1883—1884[1], который установил достаточное условия компактности, и Арцелой в 1895[3], который привёл необходимое условие и дал первую чёткую интерпретацию результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906)[4] для пространств, в которых понятие предела имеет смысл, например, метрического пространства или хаусдорфового Данфорд, Шварц (1958)[5]. Современные формулировки теоремы позволяют области и диапазону быть метрическими пространствами. Наиболее общая формулировка теоремы даёт необходимое и достаточное условия для того, чтобы семейство функций из компактного хаусдорфового пространства в Равномерное пространство (англ.) было компактным в топологии равномерной сходимости Бурбаки (1998, § 2.5)[6].

Определения

Рассмотрим пространство C[a,b] непрерывных функций, заданных на отрезке [a,b], вместе с метрикой равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:

  • Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

В случае пространство C[a,b], однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.

Положим, что F — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке [a,b].

Равномерная ограниченность

Семейство F называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная K, которой ограничены все функции семейства:

\forall f\in F\quad\forall x\in[a,b]\quad |f(x)|<K.

Равностепенная непрерывность

Семейство F называется равностепенно непрерывным, если для любого \varepsilon>0 существует δ > 0 такая, что для всякого элемента f\in F и для любых точек x1 и x2 таких, что | x1x2 | < δ, выполняется строгое неравенство |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.

Формулировка

Теорема.

Функциональное семейство F является предкомпактным в полном метрическом пространстве C[a,b] тогда и только тогда, когда это семейство является

  • равномерно ограниченным и
  • равностепенно непрерывным.

Доказательство

Фактически, необходимо показать, что оба указанных свойства семейства функций эквивалентны вполне ограниченности данного семейства.

Необходимость

Итак, пусть семейство F — вполне ограниченное.

Фиксируем \varepsilon>0 и построим конечную (\varepsilon/3)-сеть вида: \{\varphi_i\}_{i=1}^n.

Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой такой функции существует своя константа Ki такая что, | f(x) | < Ki для всякого x\in[a,b].

Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять K=\max_{i} K_i+\varepsilon/3.

Теперь, если взять произвольную функцию f\in F, то для этой функции существует такой элемент \varphi_i (\varepsilon/3)-сети, что |f(x)-\varphi_i(x)|<\varepsilon/3 для всякого x\in[a,b]. Очевидно, что в этом случае функция f будет ограничена константой K.

Тем самым показано, что семейство F является равномерно ограниченным.

Опять же, в силу непрерывности каждого элемента (\varepsilon/3)-сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по (\varepsilon/3) можно подобрать такое δi такое, что |\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|<\varepsilon/3 для любых точек x_1,x_2\in[a,b] таких, что | x1x2 | < δi.

Положим δ = miniδi.

Если теперь рассмотреть произвольную функцию f\in F, то для заданного \varepsilon>0 будет иметь место строгое неравенство |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon для любых точек x_1,x_2\in[a,b] таких, что | x1x2 | < δ.

Действительно, |f(x_1)-f(x_2)|\leqslant |f(x_1)-\varphi_i(x_1)|+|\varphi_i(x_1)-\varphi_i(x_2)|+|\varphi_i(x_2)-f(x_2)|<\varepsilon/3+\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon, где \varphi_i — подходящий элемент (\varepsilon/3)-сети.

Тем самым показано, что семейство F является равностепенно непрерывным.

Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.

Достаточность

Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства F влечёт существование конечной \varepsilon-сети для всякого конечного \varepsilon>0.

Фиксируем \varepsilon>0.

Пусть K — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.

Выберем такое δ > 0, которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине \varepsilon/5.

Рассмотрим прямоугольник [a,b]\times[-K,K] и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем δ по горизонтали и \varepsilon/5 по вертикали. Пусть x1, x2, \dots , xN — узлы этой решётки (по оси абсцисс).

Если теперь рассмотреть произвольную функцию f\in F, то для каждого узла xi решётки обязательно найдётся такая точка (xi,yj) решётки, что |f(x_i)-y_j|<\varepsilon/5. Если теперь рассмотреть ломаную функцию \varphi, которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на \varepsilon/5, то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на \varepsilon/5, ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на 3\varepsilon/5.

Поскольку каждая точка x отрезка [a,b] оказывается на одном из таких отрезков, скажем, [xk,xk + 1], то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит \varepsilon:

|f(x)-\varphi(x)|\leqslant|f(x)-f(x_k)|+|f(x_k)-\varphi(x_k)|+|\varphi(x_k)-\varphi(x)| <\varepsilon/5+\varepsilon/5+3\varepsilon/5=\varepsilon.

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является \varepsilon-сетью для заданного \varepsilon>0.

Приложения

Теорема Арцела находит своё применение в теории дифференциальных уравнений.

В теореме Пеано (о существовании решения задачи Коши) строится система функций, которая в теории дифференциальных уравнений носит название ломаных Эйлера. Эта система оказывается равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным семейством функций, из которого, согласно теореме Арцела можно выделить равномерно сходящуюся последовательность функций, предел которого и будет искомым решением задачи Коши.

См. также

Литература

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. третье, переработанное. — М.: Наука, 1972. — 496 с.

Примечания

  1. 1 2 Ascoli, G. (1883—1884), «Le curve limiti di una varietà data di curve», Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521—586.
  2. Arzelà, Cesare (1882—1883), «Un’osservazione intorno alle serie di funzioni», Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell’Istituto di Bologna: 142—159.
  3. Arzelà, Cesare (1895), «Sulle funzioni di linee», Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55-74.
  4. Fréchet, Maurice (1906), «Sur quelques points du calcul fonctionnel», Rend. Circ. Mat. Palermo 22: 1-74, doi:10.1007/BF03018603.
  5. Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume 1, Wiley-Interscience.
  6. Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5-10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Асколи — Арцела" в других словарях:

  • Теорема Асколи — Теорема Арцела  утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство  пространство непрерывных функций на отрезке… …   Википедия

  • Теорема Асколи-Арцела — …   Википедия

  • Теорема Асколи - Арцела — …   Википедия

  • Арцела, Чезаре — Чезаре Арцела итал. Cesare Arzelà …   Википедия

  • Теорема Монтеля о компактном семействе функций — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Монтеля. Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности: Пусть ― бесконечное семейство голоморфных функций в области комплексной плоскости… …   Википедия

  • АРЦЕЛА - АСКОЛИ ТЕОРЕМА — название ряда теорем, указывающих условия дл я того, чтобы предел последовательности непрерывных функций был функцией непрерывной (одно из таких условий квазиравномерная сходимость последовательности). Лит.:[1] Arzе1а С., Mem. Accad. sci Bologna …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Арцела-Асколи — …   Википедия

  • Компактное пространство — определённый тип топологических пространств, включающий Все пространства с конечным числом точек; Все замкнутые и ограниченные подмножества евклидова пространства. В топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные… …   Википедия

  • Бикомпактное пространство — Компактное пространство это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие. В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.… …   Википедия

  • Компактное множество — Компактное пространство это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие. В топологии, компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»