Теорема о прямолинейных образующих однополосного гиперболоида

Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две различные прямые, целиком расположенные на этой поверхности.

Доказательство

Рассмотрим прямые L и L*, заданные как линии пересечения плоскостей:

L:{α(x/a-z/c)=β(1-y/b); β(x/a+z/c)=α(1+y/b); α²+β²≠0.

L*: {γ(x/a-z/c)=δ(1+y/b); δ(x/a+z/c)=γ(1-y/b); γ²+δ²≠0.

Прямые L и L* целиком лежат на поверхности (чтобы убедиться в этом, достаточно почленно перемножить уравнения плоскостей). При этом через каждую точку Mo(Xo,Yo,Zo) поверхности проходит единственная прямая из семейства L и единственная прямая из семейства L*. Эти прямые (то есть пары чисел α,β и γ,δ) находятся из однородных систем уравнений

{α(Xo/a-Zo/c)=β(1-Yo/b); β(Xo/a+Zo/c)=α(1+Yo/b).

{γ(Xo/a-Zo/c)=δ(1+Yo/b); δ(Xo/a+Zo/c)=γ(1-Yo/b).

матрицы которых вырождены (то есть системы имеют нетривиальные решения) и имеют ранг, равный 1 (то есть все решения каждой из систем пропорциональны и определяют единственную прямую). Остается добавить, что прямые не совпадают (достаточно проверить неколлинеарность их направляющих векторов).

См. также

• Гиперболоид

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Викифицировать статью. Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.