- abc-гипотеза
-
abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо Джозефом Эстерле в 1988 году[1] и Дэвидом Массером в 1985 году.[2]
В августе 2012 года японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать эту гипотезу.[3] В октябре того же года Веселин Димитров и Акшай Венкатеш (Akshay Venkatesh) обнаружили ошибку в доказательстве. Мотидзуки признал этот факт, но заявил, что данная ошибка не влияет на основные результаты, а также обещал в ближайшее время опубликовать исправленную версию.
Содержание
Формулировка
При данном существует постоянная , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел a, b и c, таких, что , выполняется неравенство:
- ,
где — радикал целого числа.
Не теряя общности, можно рассматривать только натуральные числа a, b и c. Тогда неравенство сводится к следующему:
- ,
Иначе, для любого действительного числа существует конечное число троек взаимно простых натуральных чисел и , для которых выполняется условие:
- .
Замечание
Условие необходимо. Существует бесконечно много троек взаимно простых чисел таких, что . Таковыми будут, например, все тройки вида
Доказательство гипотезы Биля
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Биля для достаточно больших , а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней.[4]
Доказательство гипотезы Биля на основе abc-гипотезыСогласно гипотезе Биля, если (A, B, C, x, y, z — натуральные и ), то A, B, C имеют общий делитель.
Докажем гипотезу Биля для достаточно больших от противного. Предположим, существует бесконечное количество , для которых гипотеза Биля неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:
Учтём, что . Поэтому:
Поскольку , то:
Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на , получим ограничение сверху на величину z:
- , (*)
причём, отношение должно быть конечным, поскольку, по условию A, B, C — натуральные (то есть )
Таким образом, можно найти некоторое конечное значение , для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь не справдлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Биля для достаточно больших ошибочно.
Доказательство гипотезы Пиллаи
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.
Примечания
- ↑ J. Oesterlé Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Т. 694. — С. 165–186. — ISSN 0303-1179.
- ↑ D. W. Masser Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Т. 25.
- ↑ Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы, Lenta.ru (11 сентября 2012). Проверено 11 сентября 2012.
- ↑ R. Daniel Mauldin A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Т. 44. — № 11. — С. 1436-1437.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. abc Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Дмитрий Орлов. АВС-гипотеза и ее следствия [Лекция]. (18 апреля 2011). Проверено 20 сентября 2012.
- Лекция про АВС-гипотезу (by Keith Conrad).
Категория:- Теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.