Тест Чоу

Тест Чоу (англ. Chow test) - применяемая в эконометрике процедура проверки стабильности параметров регрессионной модели, наличия структурных сдвигов в выборке. Фактически тест проверяет неоднородность выборки в контексте регрессионной модели.

Истинные значения параметров модели могут теоретически различаться для разных выборок, так как выборки могут быть неоднородны. В частности, при анализе временных рядов может иметь место так называемый структурный сдвиг, когда со временем изменились фундаментальные характеристики изучаемой системы. Это означает, что модель до этого сдвига и модель после сдвига вообще говоря разные. Например, экономика в 1998-1999 году и в 2008-2009 годах претерпевала структурные изменения в связи с кризисными явлениями, поэтому параметры макроэкономических моделей могут быть разными, до и после этих моментов.

Тест Чоу на структурное изменение (Chow's breakpoint test)

Пусть дана выборка S объемом n, которая разбита на две подвыборки $S_1,~ S_2$, с объемами $n_1, ~n_2$ соответственно: $n=n_1+n_2$. Для временных рядов это означает обычно, что определен момент времени , подозреваемый на "структурный сдвиг", соответственно временные ряды разбиваются на ряды до этого момента и после.

Пусть рассматривается регрессионная модель $y_t=x^T_tb+\varepsilon_t$, где $b$-параметры модели (их количество обозначим $k$). Предполагается, что подвыборки могут быть неоднородными. Таким образом, для двух подвыборок имеем две модели:

$\begin{cases} y_t=x^T_tb_1+\varepsilon_t~,~t \in S_1\\ y_t=x^T_tb_2+\varepsilon_t~,~t \in S_2 \end{cases}$

Эти две модели можно представить одной моделью, если использовать индикатор подвыборки $d$.

$d_t= \begin{cases} 1~,~t \in S_1\\ 0~,~t \in S_2 \end{cases}$

Используя эту переменную мы можем записать следующую модель

$y_t=x^T_t(d_t b_1+(1-d_t) b_2)+\varepsilon_t=d_t x^T_t b_1+(1-d_t) x^T_t b_2+\varepsilon_t=z_1^Tb_1+z_2^Tb_2+\varepsilon_t$

Таким образом, имеем одну модель для всей выборки с количеством параметров $2k$. Это "длинная модель" - модель без ограничений. Если в этой модели наложить ограничение $H_0:~b_1=b_2$, то получим, очевидно исходную модель $y_t=x^T_tb+\varepsilon_t$ c $k$ параметрами также для всей выборки. Это "короткая модель" - модель с линейными ограничениями на параметры длинной модели.

Тогда процедуру теста можно свести к проверке этого линейного ограничения. При нормально распределенных случайных ошибках применяется стандартный F-тест для проверки $k$ линейных ограничений. Статистика этого теста строится по известному принципу:

$F=\frac {(ESS_S-ESS_L)/k}{ESS_L/(n-k_L)}=\frac {(ESS-ESS_1-ESS_2)/k}{(ESS_1+ESS_2)/(n-2k)}~ \sim ~ F(k,n-2k)$

Соответственно, если значение этой статистики больше критического при данном уровне значимости, то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу длинной модели, то есть выборки признаются неоднородными и необходимо строить две разные модели для выборок. В противном случае выборка однородна (параметры модели стабильны) и можно строить общую модель для выборки.

Кроме F-теста можно применять и другие тесты для проверки гипотезы об ограничениях, в частности LR-тест. Особенно это касается более общего случая, когда выделяются не две подвыборки, а несколько. Если подвыборок m, то соответствующая LR-статистика будет иметь распределение $\chi^2((m-1)k)$

Замечание

В тесте предполагается, что разными в выборках могут быть только параметры линейной модели, но не параметры распределения случайной ошибки. В частности, предполагается одинаковая дисперсия случайной ошибки в обоих подвыборках. В общем случае, однако, это может быть не так. В этом случае применяют тест Вальда со статистикой:

$W=(\hat{b}_1-\hat{b}_2)^T(\hat{V}_1+\hat{V}_2)^{-1}(\hat{b}_1-\hat{b}_2) \xrightarrow {d} \chi^2(k)$

где $\hat{b}_1,\hat{V}_1, \hat{b}_2, \hat{V}_2$ - оценки параметров и оценки их ковариационной матрицы в первой и второй подвыборках соответственно.

Тест Чоу на предсказание (Chow's forecast test)

Здесь применяется несколько иной подход. Строится модель для одной из подвыборок и на основе построенной модели прогнозируется зависимая переменная для второй подвыборки. Чем больше различия между предсказанными и фактическими значениями объясняемой переменной во второй выборке, тем больше разница между подвыборками. Соответстувующая F-статистика равна

$F=\frac {(ESS-ESS_1)/n_2} {ESS_1/(n_1-k)} ~ \sim ~ F(n_2, n_1-k)$

В данном случае также можно использовать LR-статистику с асимптотическим распределением $\chi^2(n_2)$.

См. также

• CUSUM-тест

Литература