- Обратный элемент
-
Обра́тный элеме́нт — одно из понятий абстрактной алгебры.
Содержание
Определения
- Пусть
— множество
с определённой на нём бинарной операцией
. Пусть
— произвольный элемент множества
. Если справедливо равенство
где, а
- нейтральный элемент относительно операции
, то
называется обра́тным спра́ва к
.
- Аналогичным образом, если выполнено
тоназывается обра́тным сле́ва к
.
- Элемент
, являющийся обратным к
и справа, и слева, то есть такой, что
называется просто обратным ки обозначается
.
- Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.
Замечания
- Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация
, то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается
.
- Вообще говоря, один и тот же элемент
может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и последние не обязаны пересекаться.
Свойства
- Пусть операция
ассоциативна. Тогда если для элемента
определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.
Примеры
Множество Бинарная операция Обратный элемент Вещественные числа (сложение)
(противоположное число)
Вещественные числа не равные нулю (умножение)
(обратное число)
Функции вида (композиция функций)
(обратная функция)
См. также
Категория:- Абстрактная алгебра
- Пусть
Wikimedia Foundation. 2010.