- Неравенство Минковского
-
Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой -ой степенью.
Содержание
Формулировка
Пусть — пространство с мерой, и функции , то есть , где , и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда , и более того:
- .
Доказательство
Сначала докажем, что
суммируема на .
Введем множества:
Перейдем к доказательству неравенства Минковского:
можно применить к ним Неравенство Гёльдера:
Таким образом:
Делим левую и правую части на .
Неравенство доказано.
Примечание: В случае, когда неравенство очевидно, т.к. справа стоят неотрицательные числа.Замечание
Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве можно ввести норму:
- ,
которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.
Частные случаи
Евклидово пространство
Рассмотрим Евклидово пространство или . -норма в этом пространстве имеет вид:
- ,
и тогда
- .
Если и , то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.
Пространство lp
Пусть — счётная мера на . Тогда множество всех последовательностей , таких что
- ,
называется . Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:
- .
Вероятностное пространство
Пусть — вероятностное пространство. Тогда состоит из случайных величин с конечным -м моментом: , где символ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:
- .
Литература
- Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.
См. также
Категории:- Неравенства
- Функциональный анализ
- Теория вероятностей
- Герман Минковский
Wikimedia Foundation. 2010.