Волновое число

Волновое число
$\ k$
Размерность	L−1
Единицы измерения
СИ	м−1
СГС	см−1
Примечания
скаляр

Волново́е число́ (также^[1] называемое пространственной частотой) — это отношение 2π радиан к длине волны: $k \equiv \frac{2\pi}{\lambda},$

пространственный аналог круговой частоты^[2].

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак минус, если волна распространяется в отрицательном направлении (против оси). В многомерном - это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определенное выбранное направление.

Обычное обозначение^[3]: $k$.

Единица измерения — рад·м⁻¹, физическая размерность м⁻¹. (В системе СГС: см⁻¹).

• В спектроскопии волновым числом часто называют просто величину, обратную длине волны (1/λ), измеряемую обычно в обратных сантиметрах (см⁻¹). Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя 2π.

Используется в физике, математике^[4] (преобразование Фурье) и таких приложениях, как обработка изображений.

Определение: волновым числом k называется быстрота роста фазы волны φ по пространственной координате^[5]:

$k \equiv \frac{d \varphi}{ dx}.$

Поскольку в большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или по крайней мере почти монохроматической), производную в определении можно (для этих самых распространенных случаев) заменить на выражение с конечными разностями:

$k \equiv \frac{\Delta \varphi}{ \Delta x}.$

Исходя из этого можно получить разные более-менее удобные формулировки^[6]:

• Волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра).
• Волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на 1 метр.
• Волновое число равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров.

Основные соотношения

$k \equiv \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi\nu}{v_{\varphi}}=\frac{\omega}{v_{\varphi}},$

где:

 — λ —  длина волны,

 — $\nu$ (греческая буква «ню») — частота,

 — $v$_φ — Фазовая скорость волны,

 — ω — угловая частота.

Для монохроматической бегущей волны можно записать:

$\varphi = k x - \omega t$

- для фазы,

$u(x,t) = const\cdot \mathrm{cos}(k x - \omega t + \varphi_0)$

- для самой волны,

или

$u(x,t) = const\cdot e^{i(k x - \omega t)}$

- для комплексной волны; здесь $\varphi_0$ может быть спрятано в $const$,

для монохроматической стоячей волны:

$u(x,t) = const\cdot \mathrm{cos}(k\cdot (x-x_0)) \mathrm{cos}(\omega\cdot (t-t_0)).$

Замечания

Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (т.е. через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна вообще говоря содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближенно быть описаны как волны с определенным волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).

Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, т.е. волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.

В сущности, пожалуй, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с x, вообще говоря, даже очень быстро, это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:

$u(x,t) = e^{i\int(k dx - \omega dt)},$

для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.

Волновое число в квантовой физике

В квантовой физике связывается с компонентой импульса по данному направлению:

$p_x = \hbar k_x,$

где

p_x —  - компонента импульса по направлению x (для одномерной системы - полный импульс),

k_x —  - волновое число (компонента волнового вектора) по направлению x (для одномерной системы - просто волновое число),

ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).

Поскольку константа Планка - универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать ħ = 1. Тогда

$p_x = k_x,$

то есть в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.

То же можно сказать для полного импульса и волнового числа без указания направления абсолютной величины волнового вектора):

$p = \hbar k,$

а в единицах ħ = 1:

$p = k.$

В частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближенно - для ультрарелятивистских частиц) можно также написать:

$k = \frac{E}{\hbar c},$

где

E — энергия,

ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака),

c — скорость света в вакууме.

Примечания

1. ↑ Это практически полные синонимы, различающиеся несколько лишь традиционными предпочтениями употребления в разных областях, так, термин волновое число в основном употребляется в физике (впрочем, наряду с термином пространственная частота), в математике же и различных приложениях (таких, как обработка изображений) обычно употребляется для сходного понятия термин пространственная частота и даже просто частота. Дополнительно заметим, что для термина пространственная частота (частота) нередко допускается многомерное понимание, то есть он употребляется и в качестве практического синонима термина волновой вектор, тогда как для термина волновое число такое употребление по понятным причинам практически исключено. Впрочем, компоненты волнового вектора могут называться волновыми числами по осям координат.
2. ↑ Круговая частота измеряется в радианах в секунду, волновое число - в радианах на метр.
3. ↑ Зачастую используются и другие, как правило, оговоренные явно.
4. ↑ В математике (и многих приложениях) - в основном в терминологической форме пространственная частота или даже просто частота.
5. ↑ В одномерном случае выбор пространственной координаты однозначен (с точностью до зеркального отражения), в многомерном же случае по умолчанию координата x выбирается так, чтобы совпадать с направлением максимальной скорости роста фазы, то есть перпендикулярно фазовому фронту; в этом случае волновое число есть абсолютная величина волнового вектора. Наконец иногда направление x задается явно и может не совпадать с упомянутым только что; тогда обычно говорят о волновом числе по направлению x и явно указывают это в обозначении: $k_x$.
6. ↑ Включая и формулировку в начале статьи

См. также

• Волновой вектор