Псевдогармонические колебания

Псевдогармоническое колебание — разновидность колебаний, для которых возвращающая сила (сила, стремящаяся вернуть тело в равновесное состояние) не является линейной по величине отклонения. Другими словами, это колебания, для которых «гибкость» системы зависит от перемещения.

Уравнение колебаний

Общий вид уравнения псевдогармонических колебаний:

$m\frac{d^2x}{dt^2} = F(x, x^2, x^3, \dots)$.

Если можно пренебречь всеми членами F нелинейными по x, то данное уравнение переходит в уравнение гармонических колебаний.

Примеры

Упругая невесомая проволока длиной 2l закреплена с двух концов. Груз массы m закреплен посередине проволоки. В начальный момент времени груз выведен из положения равновесия на расстояние a << l и отпущен без начальной скорости. Сила натяжения проволоки - P, её сечение - F и модуль Юнга - Е. Уравнение колебаний в данном случае запишется в виде:

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{2Px}{l} - \frac{EFx^3}{l^3}$.

Решение этого уравнения можно представить в виде:

$x = a\,\operatorname{cn}\left(\sqrt{\frac{2Pl+EFa^2}{ml^3}}t\right)$.

Здесь символом $\operatorname{cn}\,$ обозначена эллиптическая функция Якоби. Период таких колебаний равен:

$T = 4\sqrt{\frac{ml^3}{2Pl+EFa^2}}K\left(\sqrt{\frac{EFa^2}{4Pl^2+2EFa^2}}\right)$

Здесь К - полный нормальный эллиптический интеграл первого рода

См. также

• Гармонические колебания

Литература

• Ю.С. Сикорский Обыкновенные Дифференциальные уравнения //М., УРСС, 2005

Для улучшения этой статьи желательно?: Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Викифицировать статью. Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Добавить иллюстрации.