Теорема Нэша о регулярных вложениях

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Нэша.

Теорема Нэша о регулярных вложениях:

Всякое $m$-мерное риманово многообразие $(V^m,\;g)$ класса $C^r$, $3\le r\le\infty$, допускает изометрическое $C^r$ вложение в $\R^n$ для достаточно большого $n$.

Нэш также дал явную оценку $n \ge m(m+1)(3m+11)/2$, которая позднее несколько раз улучшалась. В частности теорема справедлива для $n\ge m^2+10m+3$.^[1]

Нэш также доказал аналогичный результат для аналитических вложений.

О доказательстве

Эта теорема получена в результате применения обобщения теоремы о неявной функции — теоремы Нэша — Мозера. Смысл этой теоремы состоит в том, что из разрешимости некоторой линейной алгебраической системы уравнений, естественно связанной с дифференциальным оператором $L$, и при введении разумной топологии в образе и прообразе рассматриваемый оператор является открытым отображением, то есть оператор $L$ локально обратим вблизи любой точки из множества его значений. Для уравнений вложения риманова пространства в евклидово эти условия сводятся к тому, что первые и вторые производные отображения $f:V^m\to \R^n$ по внутренним координатам $V$ должны быть поточечно линейно независимыми (такие вложения называются свободными). Из обобщенной теоремы о неявной функции вытекает, что компактное риманово многообразие $V$, достаточно близкое к компактному риманову многообразию $V$, допускающему свободное изометрическое вложение в $\R^n$, также допускает изометрическое вложение в $\R^n$.

Как только это доказано, утверждение теоремы получается нехитрой конструкцией: Строится короткое свободное вложение $f:V\to \R^p$. Пусть $g_1<g$ метрика индуцированная $f$. Строится почти изометрическое вложение $h:(V,\;g_2)\to \R^q$, $g_2=g-g_1$, то есть вложение с индуцированной метрикой $g'_2$ произвольно близкой к $g_2$ (это выполняется с помощью конструкции, называемой скручиванием Нэша), после чего используем теорему Нэша — Мозера и получаем вложение $f':V\to \R^p$ близкое к $f:V\to \R^p$ с индуцированной метрикой $g_1'=g-g_2'$. Эти два вложения дают изометрическое вложение:

$(f',\;h):V\to \R^p\times\R^q=\R^{p+q}$,   $(f',\;h)(x)=(f'(x),\;h(x))$

Вариации и обобщения

• Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для $C^1$-гладких вложений
• Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.
• Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство.^[2]

Литература

1. ↑ см. стр. 319, Громов М., Дифференциальные соотношения с частными производными, Мир 1990
2. ↑ Бураго, Иванов, Изометрические вложения финслеровых многообразий

• Нэш, Дж., «Успехи матем. наук», 1971, т. 26, в. 4, с. 173—216;