Теорема Нэша — Кейпера

Теорема Нэша — Кейпера

Теорема Нэша — Кейпера утверждает что любое гладкое короткое вложение (или погружение) n-мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство $\R^q$ при q > n, можно аппроксимировать C¹-гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением).

Термин «изометрическое вложение/погружение» здесь означает соответственно вложение/погружение которое сохраняет длины кривых.

Более точно:

Пусть (M,g) есть Риманово многообразие и $f\colon M^n\to\R^q$ есть короткое $C^\infty$-гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство ${\mathbb R}^q$ и q > n. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существует вложение (или соответственно погружение) $f_\varepsilon\colon M^n\to\R^q$ такое что $f_\varepsilon$ является C1-гладким, (изометричность) для любых двух касательных векторов $v,w\in T_x(M)$ в касательном пространстве точки $x\in M$ мы имеем: $g(v,w)=\langle df_\epsilon(v),df_\epsilon(w)\rangle.$ (C0-близость) $|f(x)-f_\varepsilon(x)|<\varepsilon$ для всех $x\in M$.

Этот результат является весьма контринтуитивным. В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично C¹-вложена в произвольно малый трёхмерный шар. Из формулы Гаусса следует что такое вложение невозможно в классе C²-вложений.

Теорема была доказана Нэшем в предположении q > n + 1 вместо q > n и приведена к настоящему виду Кейпером (англ.) с помощью нехитрого трюка.

См. также

• Теорема Нэша о регулярных вложениях

Литература

• Н. Х. Кейпер, О C¹-изометрических вложениях // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 17—28.
• Дж. Нэш, C¹-изометрические вложения // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 3—16.