- Признак Ермакова
-
Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей "чувствительностью". Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов» («Математический Сборник», 1870 г. и «Bullet. des sciences mathém. et astronom.», 2-me série, t. III), «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» («Университетские Известия университета св. Владимира» за 1872).
Содержание
Формулировка
Пусть для функции выполняется:
- (функция принимает только положительные значения)
- функция монотонно убывает при
Тогда ряд сходится, если при выполняется неравенство:
- ,
где .
Если же при , то ряд расходится.
Доказательство[1]1. Пусть выполняется неравенство:
Домножим обе части этого неравенства на и проинтегрируем, используя подстановку :
отсюда
так как , вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на , получим:
Прибавив к обеим частям интеграл , получим
Учитывая, что , при
Поскольку с возрастанием и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при :
Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд также сходится.
2. Пусть теперь имеет место неравенство:
Домножив обе части этого неравенства на и проинтегрировав, используя в левой части подстановку , получим:
Прибавим к обеим частям интеграл
Поскольку , то . Определим теперь последовательность следующим образом:
Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:
Суммируем этот интеграл по
то есть этот интеграл неограничен при . Поэтому:
Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд также расходится.
Формулировка в предельной форме
Если существует предел:
то при ряд сходится, а при — расходится.
Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.
Литература
- Математическая энциклопедия, Т.2, «Ермакова признак»
Признаки сходимости рядов Для знакоположительных
рядовНеобходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак Для знакочередующихся
рядовПризнак Лейбница Для рядов вида Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле Для функциональных рядов Признак Вейерштрасса Для рядов Фурье Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича Категория:- Признаки сходимости
Wikimedia Foundation. 2010.