Теорема Александрова о выпуклых многогранниках

Теорема Александрова о выпуклых многогранниках — геометрическая теорема о единственности замкнутого выпуклого многогранника с заданными направлениями граней, доказанная А.Д. Александровым в 1937 году^[1],^[2],^[3]. Обычно её формулируют так:

Теорема Александрова о выпуклых многогранниках: Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) ни одну из граней нельзя поместить внутри соответствующей ей грани параллельным переносом, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Укажем ещё одну формулировку, как легко видеть, эквивалентную предыдущей. В ней функция $f(Q)$ называется монотонной функцией многоугольника $Q$, если она обладает свойством: $f(Q_1)>f(Q_2)$, если $Q_2$ можно поместить внутри $Q_1$.

Теорема Александрова о выпуклых многогранниках: Пусть $P_1$ и $P_2$ — замкнутые выпуклые многогранники в трёхмерном евклидовом пространстве с гранями $Q_1^1,\dots,Q_1^n$ и $Q_2^1,\dots,Q_2^n$ соответственно, причём для любого $k=1,\dots,n$ выполнены условия: (i) единичные нормали к граням $Q_1^k$ и $Q_2^k$ совпадают и (ii) существует монотонная функция $f_k$ такая, что $f_k(Q_1^k)=f_k(Q_2^k)$. Тогда многогранники $P_1$ и $P_2$ получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Комментарии

• Для трёхмерного пространства теорема Александрова о выпуклых многогранниках обобщает теорему единственности Минковского, утверждающую, что «два равных многогранника с попарно параллельными и равновеликими гранями равны и параллельно расположены». В самом деле, в качестве монотонной функции многоугольника $f(Q)$ здесь достаточно взять площадь.
• Утверждение, получающееся из теоремы Александрова о выпуклых многогранниках, если в ней в качестве монотонной функции многоугольника $f(Q)$ взять периметр, интересно в тем, что уже более 70 лет геометры не могут найти соответствующей теоремы существования.
• В евклидовом пространстве размерности 2 утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, верно, но тривиально.
• В евклидовом пространстве размерности 4 (и во всех более высоких размерностях) утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, неверно. В качестве контрпримера можно взять четырёхмерный куб с ребром 2 и четырёхмерный прямоугольный параллелепипед с рёбрами 1, 1, 3, 3.
• О равенстве многомерных выпуклых многогранников при невмещаемости их параллельных двумерных граней, см ^[4].

Примечания

1. ↑ А.Д. Александров, Элементарное доказательство теоремы Минковского и некоторых других теорем о выпуклых многогранниках, Известия АН СССР. Сер. мат. 1, № 4, 597—606 (1937).
2. ↑ А.Д. Александров, Выпуклые многогранники. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950.
3. ↑ Л.А. Люстерник, Выпуклые фигуры и многогранники. М.: ГИТТЛ, 1956.
4. ↑ А.И. Медяник, Одно обобщение теоремы единственности А.Д. Александрова для замкнутых выпуклых многогранников на случай $n$-мерного пространства, Укр. геом. сб. 8, 91—94 (1970).