Равногранный тетраэдр

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные между собой треугольники.

Существует ряд эквивалентных определений:

1. описанный около него параллелепипед — прямоугольный;
2. его развёртка, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам,- треугольник (этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по средним линиям не сложится в тетраэдр);
3. у него имеется три оси симметрии — это общие перпендикуляры, проведённые к противоположным рёбрам, они же бимедианы;
4. все его трёхгранные углы равны (в точности сумма двугранных углов при каждой вершине равна $\pi$)
5. сумма косинусов двугранных углов при каждой вершине равна 1;
6. все его медианы равны;
7. все его высоты равны;
8. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают;
9. радиусы окружностей описанных около граней равны;
10. периметры граней равны;
11. площади граней равны;
12. противоположные углы равны;

Примечания

• В.Александров. Вращающееся кольцо тетраэдров «Квант», № 5, 2001 г. С.31.
• В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин Задачи по стереометрии. М.: Наука, 1989. 288 с ISBN 5-02-013921-1; Тираж 163000 экз. Серия Библиотека математического кружка, выпуск 19.
• D. Besso, Sul tetraedro a facce eguali, Besso Per. I. 1-12 (1886). — По-видимому, это первая публикация о равногранных тетраэдрах.

См. также

• Многообразие

Ссылки